Seja
um inteiro positivo, mostre que:
Sendo
ímpar, .
Sendo
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro positivo
ímpar e quaisquer inteiros
e
com
, temos
O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade e fatoração de polinômios. Vamos usar o Teorema do Resto (para polinômios) ou então a fatoração clássica de soma de potências ímpares.
Passo 2
Considere o polinômio em
dado por
Queremos dividir
por
, isto é, por
. Pelo Teorema do Resto, o resto dessa divisão é
Como
é ímpar,
. Logo
Isso mostra que o resto é zero, e portanto
divide
.
Passo 3
Para deixar explícita a fatoração, note que para
ímpar existe a identidade
Cada termo do segundo fator decorre do quociente da divisão polinomial de
por
.
Resposta
Portanto, quando
é ímpar, vale
concluindo a demonstração.