Seja um inteiro positivo, mostre que:
Sendo ímpar, .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro positivo n ímpar e quaisquer inteiros x e y com xneq -y, temos
x+y mid x^n+y^n
O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade e fatoração de polinômios. Vamos usar o Teorema do Resto (para polinômios) ou então a fatoração clássica de soma de potências ímpares.

Passo 2

Considere o polinômio em x dado por
p(x) = x^n + y^n
Queremos dividir p(x) por x + y, isto é, por x - (-y). Pelo Teorema do Resto, o resto dessa divisão é
p(-y) = (-y)^n + y^n
Como n é ímpar, (-y)^n = -,y^n. Logo
p(-y) = -,y^n + y^n = 0
Isso mostra que o resto é zero, e portanto ,x+y divide x^n + y^n.

Passo 3

Para deixar explícita a fatoração, note que para n ímpar existe a identidade
x^n + y^n = (x+y)l(x^n-1 - x^n-2y + x^n-3y^2 - cdots - x,y^n-2 + y^n-1r)
Cada termo do segundo fator decorre do quociente da divisão polinomial de x^n+y^n por x+y.

Resposta

Portanto, quando n é ímpar, vale
x+y mid x^n+y^n,
concluindo a demonstração.

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