(2016-2) Sejam e números reais. Considere as seguintes afirmativas:
I. Se , então .
II. Se .
III. Se .
IV. .
V. Se , então , para todo .
Marque a alternativa CORRETA.
a) Nenhuma afirmativa é verdadeira.
b) Apenas uma afirmativa é verdadeira.
c) Apenas duas afirmativas são verdadeiras
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá cinco afirmações sobre números reais, envolvendo desigualdades, reciprocidade, números racionais e irracionais, e raiz quadrada. Precisamos verificar a verdade de cada afirmativa e então escolher a alternativa certa.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “Se a<b<0, então tfrac1a>tfrac1b.”
Para ver isso, note que, quando a e b são negativos e a<b, temos |a|>|b|. Então
0>1a=-1|a|e0>1b=-1|b|,
com tfrac1|a|<tfrac1|b|. Ao trocar o sinal, fica -tfrac1|a|>-tfrac1|b|, ou seja tfrac1a>tfrac1b.
Um exemplo concreto: a=-3, b=-1 tfrac1-3=-tfrac13 e tfrac1-1=-1, e de fato -tfrac13>-1.
Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “Se a,bnotinQ, então abnotinQ.”
Isso seria dizer que o produto de dois irracionais nunca é racional. Mas basta o contraexemplo a=b=raiz2 (irracionais) cujo produto é
ab=(raiz2)(raiz2)=2inQ
Portanto, II é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmativa III: “Se anotinQ e bnotinQ, então abnotinQ.”
É essencialmente a mesma afirmação de II, e falha pelo mesmo contraexemplo a=b=raiz2.
Logo, III é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmativa IV: “ raiz4=pm2.”
Por definição, o símbolo raiz; denota a raiz quadrada principal, que é não-negativa. Assim
raiz4=2,
e não vale -2. A expressão pm2 refere-se às soluções da equação x^2=4, mas não é o valor da função raizcdot.
Logo, IV é falsa.

Passo 6

Analisando a afirmativa V: “Se a<b, então ca<cb, para todo cinR.”
Quando c>0, multiplica-se a desigualdade sem mudar o sentido, mas se c<0 o sentido da desigualdade se inverte. Por exemplo, com a=1, b=2 e c=-1 temos
1<2mas(-1)cdot1=-1not< -2=(-1)cdot2
Portanto, V é falsa.

Passo 7

Das cinco afirmativas, somente a I é verdadeira. Logo há exatamente uma afirmativa verdadeira.

Resposta

b) Apenas uma afirmativa é verdadeira.

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