(2016-2) Sejam
e
números reais. Considere as seguintes afirmativas:
I. Se
, então
.
II. Se .
III. Se .
IV.
.
V. Se
, então
, para todo
.
Marque a alternativa CORRETA.
a) Nenhuma afirmativa é verdadeira.
b) Apenas uma afirmativa é verdadeira.
c) Apenas duas afirmativas são verdadeiras
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
I. Se
II. Se .
III. Se .
IV.
V. Se
Marque a alternativa CORRETA.
a) Nenhuma afirmativa é verdadeira.
b) Apenas uma afirmativa é verdadeira.
c) Apenas duas afirmativas são verdadeiras
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá cinco afirmações sobre números reais, envolvendo desigualdades, reciprocidade, números racionais e irracionais, e raiz quadrada. Precisamos verificar a verdade de cada afirmativa e então escolher a alternativa certa.
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “Se
, então
.”
Para ver isso, note que, quando e
são negativos e
, temos
. Então
Para ver isso, note que, quando
com
. Ao trocar o sinal, fica
, ou seja
.
Um exemplo concreto: ,
dá
e
, e de fato
.
Logo, I é verdadeira.
Um exemplo concreto:
Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmativa II: “Se
, então
.”
Isso seria dizer que o produto de dois irracionais nunca é racional. Mas basta o contraexemplo (irracionais) cujo produto é
Isso seria dizer que o produto de dois irracionais nunca é racional. Mas basta o contraexemplo
Portanto, II é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmativa III: “Se
e
, então
.”
É essencialmente a mesma afirmação de II, e falha pelo mesmo contraexemplo .
Logo, III é falsa.
É essencialmente a mesma afirmação de II, e falha pelo mesmo contraexemplo
Logo, III é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmativa IV: “
.”
Por definição, o símbolo denota a raiz quadrada principal, que é não-negativa. Assim
Por definição, o símbolo
e não vale
. A expressão
refere-se às soluções da equação
, mas não é o valor da função
.
Logo, IV é falsa.
Logo, IV é falsa.
Passo 6
Analisando a afirmativa V: “Se
, então
, para todo
.”
Quando , multiplica-se a desigualdade sem mudar o sentido, mas se
o sentido da desigualdade se inverte. Por exemplo, com
,
e
temos
Quando
Portanto, V é falsa.
Passo 7
Das cinco afirmativas, somente a I é verdadeira. Logo há exatamente uma afirmativa verdadeira.
Resposta
b) Apenas uma afirmativa é verdadeira.