Calcule a integral
integralB x y d V
onde B é a região do primeiro octante limitado pelos planos coordenados e cos cilindros x^2+y^2=1 e x^2+z^2=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral
integralB x,y,dV
onde B é a região do primeiro octante ( x>=0, y>=0, z>=0) limitada pelos cilindros x^2+y^2=1 e x^2+z^2=1. O conteúdo envolvido é a escolha de coordenadas retangulares e a determinação dos limites de integração para a interseção desses cilindros.

Passo 2

Para cada x fixo em [0,1] temos
x^2+y^2<=1implies 0<= y<=raiz1-x^2,
x^2+z^2<=1implies 0<= z<=raiz1-x^2
Assim a integral vira
integralx=0^1!integraly=0^raiz1-x^2!integralz=0^raiz1-x^2x,y,dz,dy,dx

Passo 3

Integramos primeiro em z, gerando o fator raiz1-x^2, e depois em y:
integral0^raiz1-x^2x,y,dz =x,yl[zr]0^raiz1-x^2 =x,y,raiz1-x^2,
integral0^raiz1-x^2x,y,raiz1-x^2,dy =x,raiz1-x^2;12l(1-x^2r) =12,x,(1-x^2)^3/2
Logo a integral total fica
integral0^112,x,(1-x^2)^3/2,dx

Passo 4

Para avaliar
12integral0^1x,(1-x^2)^3/2,dx,
fazemos u=1-x^2, du=-2x,dx, logo x,dx=-tfrac12du. Assim
12integral0^1x,(1-x^2)^3/2,dx =12l(-tfrac12r)integralu=1^0u^3/2,du =-14l[tfrac25u^5/2r]1^0 =110

Resposta

110

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