[2, Ex.25,p.875] Ache a taxa de variação máxima de no ponto e a direção ocorre.
(1.8) Suponha que a temperatura em um ponto do espaço seja dada por , onde é medida em graus Celsius e e , em metros. Em que direção no ponto a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual á a taxa máxima de aumento?
Passo 1
O enunciado envolve duas funções de três variáveis e pede a direção e a taxa de variação máxima em pontos dados. Primeiro, no ponto . Depois, no ponto . O conteúdo principal é cálculo de derivadas parciais, gradiente e derivada direcional máxima, sabendo que a taxa máxima em um ponto é o módulo do gradiente e ocorre na direção do próprio gradiente.
Passo 2
Calcular . Temos
logo pela regra da cadeia
e de modo análogo
Passo 3
Avaliar em . Primeiro
Logo
A taxa de variação máxima é o módulo desse gradiente:
E a direção onde ocorre é o vetor unitário paralelo a nabla f, ou seja
17(3,6,-2)
Passo 4
Calcular nabla T. Seja
T(x,y,z)=80u, u=1+x^2+2y^2+3z^2
Pela regra da cadeia,
partial Tpartial x =80cdotl(-1r)partial u/partial xu^2 =-802xu^2=-160xu^2,
partial Tpartial y =-80cdot 4yu^2=-320yu^2, partial Tpartial z =-80cdot 6zu^2=-480zu^2