[2, Ex.25,p.875] Ache a taxa de variação máxima de f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 no ponto (3,6,-2) e a direção ocorre.
(1.8) Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) do espaço seja dada por T(x, y, z)=801+x^2+2 y^2+3 z^2, onde T é medida em graus Celsius e x, y e z, em metros. Em que direção no ponto (1,1,-2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual á a taxa máxima de aumento?

Passo 1

O enunciado envolve duas funções de três variáveis e pede a direção e a taxa de variação máxima em pontos dados. Primeiro, f(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2 no ponto (3,6,-2). Depois, T(x,y,z)=dfrac801+x^2+2y^2+3z^2 no ponto (1,1,-2). O conteúdo principal é cálculo de derivadas parciais, gradiente e derivada direcional máxima, sabendo que a taxa máxima em um ponto é o módulo do gradiente e ocorre na direção do próprio gradiente.

Passo 2

Calcular nabla f. Temos
f(x,y,z)=l(x^2+y^2+z^2r)^1/2,
logo pela regra da cadeia
partial fpartial x=12(x^2+y^2+z^2)^-1/2cdot 2x=xraizx^2+y^2+z^2,
e de modo análogo
nabla f(x,y,z) =l(xraizx^2+y^2+z^2,;yraizx^2+y^2+z^2,;zraizx^2+y^2+z^2r)

Passo 3

Avaliar nabla f em (3,6,-2). Primeiro
r=raiz3^2+6^2+(-2)^2=raiz9+36+4=7
Logo
nabla f(3,6,-2) =l(tfrac37,tfrac67,-tfrac27r)
A taxa de variação máxima é o módulo desse gradiente:
l|nabla f(3,6,-2)r| =raizl(tfrac37r)^2+l(tfrac67r)^2+l(-tfrac27r)^2 =17raiz9+36+4=1
E a direção onde ocorre é o vetor unitário paralelo a nabla f, ou seja
17(3,6,-2)

Passo 4

Calcular nabla T. Seja
T(x,y,z)=80u, u=1+x^2+2y^2+3z^2
Pela regra da cadeia,
partial Tpartial x =80cdotl(-1r)partial u/partial xu^2 =-802xu^2=-160xu^2,
partial Tpartial y =-80cdot 4yu^2=-320yu^2, partial Tpartial z =-80cdot 6zu^2=-480zu^2
Portanto
nabla T(x,y,z) =l(-tfrac160xu^2,,-tfrac320yu^2,,-tfrac480zu^2r)

Passo 5

Avaliar nabla T em (1,1,-2). Aqui
u=1+1^2+2cdot1^2+3cdot(-2)^2=1+1+2+12=16,
então
nabla T(1,1,-2) =l(-tfrac160cdot116^2,,-tfrac320cdot116^2,,-tfrac480cdot(-2)16^2r) =l(-tfrac160256,-tfrac320256,tfrac960256r) =l(-tfrac58,-tfrac54,tfrac154r)
O módulo é
l|nabla T(1,1,-2)r| =raizl(-tfrac58r)^2+l(-tfrac54r)^2+l(tfrac154r)^2 =raiz2564+2516+22516 =raiz102564 =raiz10258
A direção de máximo aumento é o vetor unitário paralelo a nabla T:
1raiz1025l(-5,-10,30r)

Resposta

Para f em (3,6,-2):
direção 17(3,6,-2), taxa máxima 1.
Para T em (1,1,-2):
direção dfrac1raiz1025(-5,-10,30), taxa máxima dfracraiz10258.

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