Determine os valores de máximo e mínimo da função dada, na região indicada.
(1.2)
Um disco tem a forma do círculo x^2+y^2 <= 1. Supondo que a temperatura nos pontos do disco é dada por T(x, y)=x^2-x+2 y^2, determinar os pontos mais quentes e mais frios do disco.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da função de temperatura
T(x,y)=x^2-x+2y^2
no disco
x^2+y^2<=1
O conteúdo é otimização de função de duas variáveis em domínio fechado; vamos buscar pontos críticos no interior e depois examinar a fronteira.

Passo 2

No interior do disco usamos a condição de ponto crítico nabla T=0. Calculamos o gradiente:
nabla T(x,y)=l(2x-1,;4yr)
Igualando a zero, obtemos o sistema
2x-1=0, 4y=0

Passo 3

Daquelas equações segue
x=tfrac12, y=0
Como l(tfrac12,0r) satisfaz tfrac14+0<=1, é ponto crítico interior. O valor de T lá é
Tl(tfrac12,0r)=l(tfrac12r)^2-tfrac12+0 =-tfrac14

Passo 4

Na fronteira ( x^2+y^2=1) parametrizamos por x=cos t,;y=sin t. Então
T(cos t,sin t) =cos^2t-cos t+2sin^2t =-cos^2t-cos t+2
Definindo u=cos t com uin[-1,1], fica
f(u)=-u^2-u+2

Passo 5

A função f(u) é quadrática com coeficiente de u^2 negativo, cujo vértice ocorre em
u=-b2a=--12cdot(-1)=tfrac12,
levando ao valor máximo local
fl(tfrac12r)=-tfrac14-tfrac12+2=tfrac54
Nos extremos u=-1 e u=1 temos
f(-1)=2, f(1)=0

Passo 6

Reunindo os candidatos:
  • Interior: Tl(tfrac12,0r)=-tfrac14.
  • Fronteira em u=1 ( x=1,y=0): T=0.
  • Fronteira em u=tfrac12 ( x=tfrac12,y=pmraiz3/2): T=tfrac54.
  • Fronteira em u=-1 ( x=-1,y=0): T=2.
O menor valor é -tfrac14 em l(tfrac12,0r). O maior valor é 2 em (-1,0).

Resposta

Ponto mais frio: l(tfrac12,0r), com T=-tfrac14.
Ponto mais quente: (-1,0), com T=2.

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