Determine os valores de máximo e mínimo da função dada, na região indicada.
(1.2)
Um disco tem a forma do círculo
. Supondo que a temperatura nos pontos do disco é dada por
, determinar os pontos mais quentes e mais frios do disco.
(1.2)
Um disco tem a forma do círculo
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos da função de temperatura
no disco
O conteúdo é otimização de função de duas variáveis em domínio fechado; vamos buscar pontos críticos no interior e depois examinar a fronteira.
Passo 2
No interior do disco usamos a condição de ponto crítico
. Calculamos o gradiente:
Igualando a zero, obtemos o sistema
Passo 3
Daquelas equações segue
Como
satisfaz
, é ponto crítico interior. O valor de
lá é
Passo 4
Na fronteira (
) parametrizamos por
. Então
Definindo
com
, fica
Passo 5
A função
é quadrática com coeficiente de
negativo, cujo vértice ocorre em
levando ao valor máximo local
Nos extremos
e
temos
Passo 6
Reunindo os candidatos:
- Interior:
. - Fronteira em
( ): . - Fronteira em
( ): . - Fronteira em
( ): .
O menor valor é
em
. O maior valor é
em
.
Resposta
Ponto mais frio:
, com
.
Ponto mais quente: , com
.
Ponto mais quente: