Exercício 2.16. Determine se a equação (e^x sin (y)+3 y) d x-(3 x-e^x sin (y)) d y=0 é exata ou não. Caso positivo, encontre a solução.

Passo 1

A equação diferencial dada é (e^xsin(y)+3y),dx - (3x - e^xsin(y)),dy = 0. Isso cai na categoria de equações exatas, onde identificamos as funções M(x,y) e N(x,y) e comparamos suas derivadas parciais.

Passo 2

Vamos definir
M(x,y) = e^xsin(y) + 3y,
N(x,y) = -l(3x - e^xsin(y)r) = e^xsin(y) - 3x
Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = e^xcos(y) + 3,
partial Npartial x = e^xsin(y) - 3

Passo 3

Como
partial Mpartial y = e^xcos(y) + 3
é diferente de
partial Npartial x = e^xsin(y) - 3 ,
concluímos que a equação não é exata. Portanto não existe função potencial Psi(x,y) que satisfaça dPsi = M,dx + N,dy sem um fator integrante adicional.

Resposta

A equação não é exata, pois partial M/partial yneq partial N/partial x.

Exercícios relacionados