Calcule o centro de massa da região.
D=(x, y) in R^2: x <= y <= x+1,0 <= x <= 1 e a densidade é o produto das coordenadas do ponto.

Passo 1

O enunciado define a região
D = (x,y)inR^2 : 0<= x<=1,;x<= y<= x+1
e a densidade de<a(x,y)=x,y. Para achar o centro de massa (bar x,bar y) usamos
M = integral duplaDde<a(x,y),dA, bar x = 1Mintegral duplaDx,de<a(x,y),dA, bar y = 1Mintegral duplaDy,de<a(x,y),dA
Vamos calcular essas integrais em coordenadas cartesianas, integrando em y de x a x+1 e depois em x de 0 a 1.

Passo 2

Cálculo da massa total M:
M = integralx=0^1integraly=x^x+1 x,y , dy,dx = integral0^1 x[y^22]y=x^y=x+1dx = integral0^1xl((x+1)^2 - x^2r)2,dx = integral0^1x(2x+1)2,dx
Agora
integral0^1x(2x+1)2,dx = 12integral0^1(2x^2 + x),dx = 12l[tfrac23 + tfrac12r] = 712
Logo,
M = 712

Passo 3

Cálculo do momento integral duplaDx,de<a(x,y),dA (numerador de bar x):
integral0^1integralx^x+1 x,(x,y),dy,dx = integral0^1x^2[y^22]y=x^y=x+1dx = integral0^1x^2(2x+1)2,dx = 12integral0^1(2x^3 + x^2),dx = 12l[tfrac12 + tfrac13r] = 512

Passo 4

Cálculo do momento integral duplaDy,de<a(x,y),dA (numerador de bar y):
integral0^1integralx^x+1 y,(x,y),dy,dx = integral0^1x[y^33]y=x^y=x+1dx = 13integral0^1xl((x+1)^3 - x^3r),dx = 13integral0^1x(3x^2+3x+1),dx
= 13integral0^1(3x^3 + 3x^2 + x),dx = 13l[tfrac34 + 1 + tfrac12r] = 34

Passo 5

Agora
bar x = 512 712 = 57, bar y = 34 712 = 97

Resposta

l(tfrac57,,tfrac97r)

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