Exercício 2.18. Encontre o valor de b para o qual a equação
é exata e resolva cada equação com este valor de
.
Passo 1
O exercício pede para achar o valor de
que torna a forma diferencial
exata e, em seguida, resolver a equação para esse
. O conteúdo é equações diferenciais exatas, e vamos precisar usar a condição de exatidade
e depois construir uma função potencial.
Passo 2
Identificamos
e
. Calculamos
Impondo
obtemos
.
Passo 3
Com
a equação fica exata:
. Para achar a função potencial
integramos
em relação a
:
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Daí vem
, logo
.
Passo 5
A solução geral implícita é dada por
o que, multiplicando por 2, dá
Resposta
O valor de b é 1, e a solução geral é
e{2xy}+x2=C.
e{2xy}+x2=C.