Exercício 2.18. Encontre o valor de b para o qual a equação (y e^2 x y+x) d x+b x e^2 x y d y=0 é exata e resolva cada equação com este valor de b.

Passo 1

O exercício pede para achar o valor de b que torna a forma diferencial (y e^2 x y+x),dx+b x e^2 x y,dy=0 exata e, em seguida, resolver a equação para esse b. O conteúdo é equações diferenciais exatas, e vamos precisar usar a condição de exatidade partial M/partial y=partial N/partial x e depois construir uma função potencial.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=y e^2 x y+x e N(x,y)=b x e^2 x y. Calculamos
partial Mpartial y=e^2xy(1+2xy),
partial Npartial x=b e^2xy(1+2xy)
Impondo partial M/partial y=partial N/partial x obtemos b=1.

Passo 3

Com b=1 a equação fica exata: (y e^2 x y+x),dx+x e^2 x y,dy=0. Para achar a função potencial phi(x,y) integramos M em relação a x:
phi(x,y)=integrall(y e^2xy+xr)dx =12e^2xy+x^22+h(y)

Passo 4

Derivamos phi em relação a y e igualamos a N:
partialphipartial y=x e^2xy+h'(y)=x e^2xy
Daí vem h'(y)=0, logo h(y)=constante.

Passo 5

A solução geral implícita é dada por
12e^2xy+x^22=C,
o que, multiplicando por 2, dá
e^2xy+x^2=C'

Resposta

O valor de b é 1, e a solução geral é
e{2xy}+x2=C.

Exercícios relacionados