Calcular as integrais seguintes utilizando o método apropriado:
\int x \cdot e^{-2 x} d x-2 e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as duas integrais indefinidas
\int x\,e^{-2x}\,dx
e
\int -2\,e^{-2x}\,dx.
Para a primeira vamos usar integração por partes, e para a segunda basta reconhecer que a derivada de e^{-2x} é -2\,e^{-2x}.

Passo 2

Vamos calcular
\int x\,e^{-2x}\,dx.
Em integração por partes, escolhemos
u = x,\quad dv = e^{-2x}\,dx.
Então
du = dx,
e
v = \int e^{-2x}\,dx = -\tfrac12\,e^{-2x}.
Pela fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
temos
\int x\,e^{-2x}\,dx = x\bigl(-\tfrac12 e^{-2x}\bigr) - \int \bigl(-\tfrac12 e^{-2x}\bigr)\,dx = -\tfrac{x}{2}\,e^{-2x} + \tfrac12\int e^{-2x}\,dx.
Calculando a parte restante,
\int e^{-2x}\,dx = -\tfrac12\,e^{-2x},
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\int x\,e^{-2x}\,dx = -\tfrac{x}{2}\,e^{-2x} + \tfrac12\Bigl(-\tfrac12\,e^{-2x}\Bigr) = -\tfrac{x}{2}\,e^{-2x} - \tfrac{1}{4}\,e^{-2x} + C_1.

Passo 3

Agora calculamos
\int -2\,e^{-2x}\,dx.
Reconhecemos que
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}\bigr) = -2\,e^{-2x},
então
\int -2\,e^{-2x}\,dx = e^{-2x} + C_2.

Resposta

\int x\,e^{-2x}\,dx = -\frac{x}{2}\,e^{-2x} - \frac{1}{4}\,e^{-2x} + C_1,
\int -2\,e^{-2x}\,dx = e^{-2x} + C_2.

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