[2,5] Um acionista financiou uma casa em 20 anos pela Caixa Econômica Federal. Caso tivesse condição de pagar o imóvel à vista, este valor seria de
175.000,00
1,22 %$ a.m. e que a primeira prestação foi paga no ato da assinatura do contrato, sendo esse o dia da compra, calcule o valor da prestação mensal.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Valor à vista do imóvel:
. - Prazo:
anos com prestações mensais. - Taxa de juros:
ao mês. - A primeira prestação foi paga no ato da assinatura — isto é, a primeira prestação ocorre imediatamente (no tempo zero).
O que se pede: calcular o valor da prestação mensal (valor da parcela) que torna o valor presente das prestações igual a
.
Passo 2
Vamos definir variáveis e entender o tipo de série de pagamentos:
- Seja
o valor da prestação mensal que queremos encontrar (em reais/dólares, conforme o enunciado). - Taxa mensal em forma decimal:
. - Número total de prestações mensais:
.
Como a primeira parcela é paga imediatamente (no ato), temos um regime de pagamentos chamado “anuidade-due” (ou anuidade antecipada): os pagamentos ocorrem nos instantes
(em meses). O valor presente (no instante da assinatura,
) de uma anuidade-due de
pagamentos de valor
é diferente do da anuidade-ordinária (quando o primeiro pagamento é um período depois).
Passo 3
Derivação da fórmula do valor presente para anuidade-due (passo didático):
- Primeiro, lembre que o fator de desconto por um período é
. - O valor presente de uma anuidade cujos pagamentos são
nos instantes é - Essa soma geométrica vale
- Substituindo
e simplificando , obtemos - Portanto a fórmula do valor presente de uma anuidade-due é
- Queremos
igual ao preço à vista, ou seja . Isolando :
Explicação intuitiva rápida: a presença do fator
vem porque o primeiro pagamento é imediato (a soma de potências de
começa em
), enquanto na anuidade-ordinária o fator seria apenas
.
Passo 4
Agora substituímos os números conhecidos na fórmula. Primeiro escrever as quantidades em forma matemática:
-
. -
. -
.
A fórmula para
é
Passo 5
Calcular o termo
. Para isso usamos logaritmos/exponenciais (procedimento de cálculo numérico):
- Calcular
. Pela expansão ou aproximação temos - Multiplicando por
: - Então
(Técnica: este cálculo normalmente é feito com calculadora científica; aqui só mostrei o caminho para obter a aproximação.)
Passo 6
Continuando os cálculos numéricos com o valor aproximado acima:
- Calcular
. - Calcular
. - Numerador:
.
Portanto
Passo 7
Interpretação e verificação rápida: a parcela mensal ficou em torno de
. Faz sentido: em 240 prestações de
o total pago é bem maior que
por causa dos juros; como a primeira parcela foi antecipada, o valor presente das parcelas com essa
se aproxima do preço contado.