[2,5] Um acionista financiou uma casa em 20 anos pela Caixa Econômica Federal. Caso tivesse condição de pagar o imóvel à vista, este valor seria de \ 175.000,00 . Sabendo que a Caixa cobrou uma taxa de juros de1,22 %$ a.m. e que a primeira prestação foi paga no ato da assinatura do contrato, sendo esse o dia da compra, calcule o valor da prestação mensal.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Valor à vista do imóvel: \$175{.}000{,}00.
  • Prazo: 20 anos com prestações mensais.
  • Taxa de juros: 1{,}22\% ao mês.
  • A primeira prestação foi paga no ato da assinatura — isto é, a primeira prestação ocorre imediatamente (no tempo zero).
O que se pede: calcular o valor da prestação mensal (valor da parcela) que torna o valor presente das prestações igual a \$175{.}000{,}00.

Passo 2

Vamos definir variáveis e entender o tipo de série de pagamentos:
  • Seja R o valor da prestação mensal que queremos encontrar (em reais/dólares, conforme o enunciado).
  • Taxa mensal em forma decimal: i=1{,}22\% = 0{,}0122.
  • Número total de prestações mensais: n=20\times 12=240.
Como a primeira parcela é paga imediatamente (no ato), temos um regime de pagamentos chamado “anuidade-due” (ou anuidade antecipada): os pagamentos ocorrem nos instantes 0,1,2,\dots,n-1 (em meses). O valor presente (no instante da assinatura, t=0) de uma anuidade-due de n pagamentos de valor R é diferente do da anuidade-ordinária (quando o primeiro pagamento é um período depois).

Passo 3

Derivação da fórmula do valor presente para anuidade-due (passo didático):
  • Primeiro, lembre que o fator de desconto por um período é v=\dfrac{1}{1+i}.
  • O valor presente de uma anuidade cujos pagamentos são R nos instantes 0,1,\dots,n-1 é PV = R\sum_{k=0}^{n-1} v^{k}.
  • Essa soma geométrica vale \sum_{k=0}^{n-1} v^{k} = \frac{1-v^{n}}{1-v}.
  • Substituindo v=\dfrac{1}{1+i} e simplificando 1-v=\dfrac{i}{1+i}, obtemos \sum_{k=0}^{n-1} v^{k} = \frac{1-(1+i)^{-n}}{\,\dfrac{i}{1+i}\,}=(1+i)\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
  • Portanto a fórmula do valor presente de uma anuidade-due é PV = R\,(1+i)\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
  • Queremos PV igual ao preço à vista, ou seja PV=175{.}000. Isolando R: R = \frac{PV\cdot i}{(1+i)\bigl(1-(1+i)^{-n}\bigr)}.
Explicação intuitiva rápida: a presença do fator (1+i) vem porque o primeiro pagamento é imediato (a soma de potências de v começa em v^{0}=1), enquanto na anuidade-ordinária o fator seria apenas \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}.

Passo 4

Agora substituímos os números conhecidos na fórmula. Primeiro escrever as quantidades em forma matemática:
  • PV=175{.}000.
  • i=0{,}0122.
  • n=240.
A fórmula para R é
R = \frac{175{.}000\cdot 0{,}0122}{(1+0{,}0122)\bigl(1-(1+0{,}0122)^{-240}\bigr)}.

Passo 5

Calcular o termo (1+i)^{-n}=(1{,}0122)^{-240}. Para isso usamos logaritmos/exponenciais (procedimento de cálculo numérico):
  • Calcular \ln(1{,}0122). Pela expansão ou aproximação temos \ln(1{,}0122)\approx 0{,}01212618.
  • Multiplicando por 240: 240\cdot \ln(1{,}0122)\approx 2{,}910283.
  • Então (1{,}0122)^{-240} = e^{-240\ln(1{,}0122)} \approx e^{-2{,}910283}\approx 0{,}05444\\ (\text{aprox.}).
(Técnica: este cálculo normalmente é feito com calculadora científica; aqui só mostrei o caminho para obter a aproximação.)

Passo 6

Continuando os cálculos numéricos com o valor aproximado acima:
  • Calcular 1-(1+i)^{-n} \approx 1-0{,}05444 = 0{,}94556.
  • Calcular (1+i)\bigl(1-(1+i)^{-n}\bigr) \approx 1{,}0122\times 0{,}94556 \approx 0{,}95710.
  • Numerador: 175{.}000\times 0{,}0122 = 2{.}135{,}00.
Portanto
R \approx \frac{2{.}135{,}00}{0{,}95710}\approx 2{.}230{,}75.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida: a parcela mensal ficou em torno de \$2{.}230{,}75. Faz sentido: em 240 prestações de \$2{.}230 o total pago é bem maior que \$175{.}000 por causa dos juros; como a primeira parcela foi antecipada, o valor presente das parcelas com essa R se aproxima do preço contado.

Resposta

\$2{.}230{,}75

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