[2,5] Um investidor realizou um financiamento para a instalação de energia solar em sua residência, a juros de 15,40% a.a. O financiamento foi realizado em 8 anos, tendo uma prestação mensal de \ 315,00$. O pagamento da primeira prestação ocorreu apenas 90 dias após o início do contrato. Calcule o valor que pagaria, se tivesse condição de custear a instalação à vista.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • Taxa de juros: 15{,}40\% ao ano.
    • Prazo do financiamento: 8 anos.
    • Prestação mensal: \$315,00.
    • A primeira prestação foi paga 90 dias após o início do contrato (ou seja, 3 meses depois).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o valor que o investidor pagaria se pudesse custear a instalação à vista (isto é, o valor presente no instante inicial do contrato, t=0).

Passo 2

Escolher como trabalhar a taxa de juros e o calendário de pagamentos.
  • As prestações são mensais, portanto devemos trabalhar com a taxa de juros mensal equivalente. Como o enunciado só dá a taxa anual nominal 15{,}40\% a.a., tomamos a taxa mensal por divisão simples (taxa nominal com capitalização mensal): i = \dfrac{0{,}154}{12} = 0{,}012833333\ldots \quad\text{(juros por mês)}.ê
  • Número total de prestações (mensais) em 8 anos: n = 8\cdot 12 = 96.
  • Denotando a prestação mensal por R, temos R = \$315{,}00.

Passo 3

Entender a posição das prestações no tempo e a fórmula de valor presente de uma anuidade.
  • As prestações ocorrem mensalmente e a primeira foi paga no mês 3. Portanto as prestações ocorrem nos meses 3,4,\dots,98 (são 96 prestações).
  • Uma anuidade imediata (pagamentos nos fins dos períodos 1,2,\dots,n) tem valor presente no instante 0 dado por PV_{\text{imm}} = R\cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.Explicação rápida dessa fórmula: é a soma geométrica PV_{\text{imm}}=R\sum_{t=1}^{n}(1+i)^{-t} =R\cdot\frac{(1+i)^{-1}\left[1-(1+i)^{-n}\right]}{1-(1+i)^{-1}} =R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.

Passo 4

Adaptar a fórmula para o caso de anuidade diferida (primeiro pagamento no mês 3).
  • Nossas prestações começam no mês 3. Isso é o mesmo que ter uma anuidade imediata de n=96 pagamentos que foi deslocada (diferida) por 2 períodos. Para uma anuidade imediata deslocada por d períodos, o valor presente no tempo 0 é PV = (1+i)^{-d}\cdot R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
  • No nosso caso d=2 (porque mês 1\to mês 3 é deslocamento de 2 meses). Logo PV = (1+i)^{-2}\cdot R\cdot\frac{1-(1+i)^{-96}}{i}.

Passo 5

Substituir os números e calcular passo a passo.
  • Primeiro, recapitular os valores: R=\$315{,}00,\quad i=0{,}012833333\ldots,\quad n=96.
  • Calcular (1+i): 1+i = 1{,}012833333\ldots
  • Calcular (1+i)^{-96}. Usando aproximação via logaritmo/exponencial para evitar muitas multiplicações: \ln(1+i)\approx 0{,}01275167705\quad\Rightarrow\quad 96\ln(1+i)\approx 1{,}224160997.
(1+i)^{-96} = e^{-96\ln(1+i)} \approx e^{-1{,}224160997}\approx 0{,}29385.
(ou seja, (1+i)^{-96}\approx 0{,}29385.)
  • Calcular (1+i)^{-2}: (1+i)^{-2}\approx e^{-2\ln(1+i)}\approx e^{-0{,}025503354}\approx 0{,}97480.
  • Calcular o fator da anuidade: \frac{1-(1+i)^{-96}}{i}\approx\frac{1-0{,}29385}{0{,}012833333}\approx\frac{0{,}70615}{0{,}012833333}\approx 55{,}1594.
  • Agora o valor presente: PV \approx 0{,}97480\cdot 315\cdot 55{,}1594.Primeiro 315\cdot 55{,}1594\approx 17\,405{,}28. Multiplicando por 0{,}97480: PV \approx 17\,405{,}28\cdot 0{,}97480 \approx 16\,897{,}16.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida.
  • Faz sentido: pagando à vista o valor é bem menor que a soma total das prestações (96\cdot 315=\$30\,240), porque o pagamento à vista evita juros futuros.
  • A resposta foi obtida arredondando de forma razoável nas etapas numéricas; o resultado final está apresentado com centavos.

Resposta

$16.897,16

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