Um investidor realizou um financiamento para a instalação de energia solar em sua residência, a juros de 15,40% a.a. O financiamento foi realizado em 8 anos, tendo uma prestação mensal de
315,00$. O pagamento da primeira prestação ocorreu apenas 90 dias após o início do contrato. Calcule o valor que pagaria, se tivesse condição de custear a instalação à vista.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados do enunciado:
- Taxa de juros:
ao ano. - Prazo do financiamento:
anos. - Prestação mensal:
. - A primeira prestação foi paga
dias após o início do contrato (ou seja, meses depois).
- Taxa de juros:
- O que o enunciado pede:
- Calcular o valor que o investidor pagaria se pudesse custear a instalação à vista (isto é, o valor presente no instante inicial do contrato,
).
- Calcular o valor que o investidor pagaria se pudesse custear a instalação à vista (isto é, o valor presente no instante inicial do contrato,
Passo 2
Escolher como trabalhar a taxa de juros e o calendário de pagamentos.
- As prestações são mensais, portanto devemos trabalhar com a taxa de juros mensal equivalente. Como o enunciado só dá a taxa anual nominal
a.a., tomamos a taxa mensal por divisão simples (taxa nominal com capitalização mensal): - Número total de prestações (mensais) em
anos: - Denotando a prestação mensal por
, temos .
Passo 3
Entender a posição das prestações no tempo e a fórmula de valor presente de uma anuidade.
- As prestações ocorrem mensalmente e a primeira foi paga no mês
. Portanto as prestações ocorrem nos meses (são prestações). - Uma anuidade imediata (pagamentos nos fins dos períodos
) tem valor presente no instante dado por Explicação rápida dessa fórmula: é a soma geométrica
Passo 4
Adaptar a fórmula para o caso de anuidade diferida (primeiro pagamento no mês 3).
- Nossas prestações começam no mês
. Isso é o mesmo que ter uma anuidade imediata de pagamentos que foi deslocada (diferida) por períodos. Para uma anuidade imediata deslocada por períodos, o valor presente no tempo é - No nosso caso
(porque mês mês é deslocamento de 2 meses). Logo
Passo 5
Substituir os números e calcular passo a passo.
- Primeiro, recapitular os valores:
- Calcular
: - Calcular
. Usando aproximação via logaritmo/exponencial para evitar muitas multiplicações:
(ou seja,
.)
- Calcular
: - Calcular o fator da anuidade:
- Agora o valor presente:
Primeiro . Multiplicando por :
Passo 6
Interpretação e verificação rápida.
- Faz sentido: pagando à vista o valor é bem menor que a soma total das prestações
, porque o pagamento à vista evita juros futuros. - A resposta foi obtida arredondando de forma razoável nas etapas numéricas; o resultado final está apresentado com centavos.
Resposta
$16.897,16