[2,5] Uma pessoa acabou de comprar um apartamento pela Caixa Econômica Federal. O banco concedeu um financiamento de
165.000
1,22 %$ a.m., determine:
a) o valor amortizado em cada prestação.
b) o valor da
prestação.
c) o saldo devedor na
prestação.
d) o valor dos juros da
prestação.
a) o valor amortizado em cada prestação.
b) o valor da
c) o saldo devedor na
d) o valor dos juros da
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
- Montante do financiamento (principal):
. - Prazo:
anos com prestações mensais. Como cada ano tem meses, o número total de prestações é
- Taxa de juros nominal mensal:
ao mês. Em forma decimal:
O enunciado pede:
(a) o valor amortizado em cada prestação;
(b) o valor da prestação;
(c) o saldo devedor na prestação;
(d) o valor dos juros da prestação.
(a) o valor amortizado em cada prestação;
(b) o valor da
(c) o saldo devedor na
(d) o valor dos juros da
Passo 2
Explicar o Sistema de Amortização Constante (SAC) e as fórmulas que vamos usar — aula curta e direta.
- No SAC a parcela de amortização do principal é constante em todas as prestações. Ou seja, a parte do pagamento que reduz o capital é sempre a mesma.
- Se
é o principal (dívida inicial) e é o número de prestações, a amortização constante por prestação é
onde
-
é o valor emprestado (no caso ), -
é o número total de prestações (no caso ), -
é o valor da amortização fixo por prestação. - Em cada prestação
(com ), os juros cobrados são calculados sobre o saldo devedor antes do pagamento da prestação . O saldo antes da -ésima prestação é
- A prestação total (valor pago na
-ésima vez) é
onde
é a taxa de juros mensal em decimal.
- O saldo devedor imediatamente após a
-ésima prestação é
- Os juros da
-ésima prestação são simplesmente .
Agora vamos aplicar essas fórmulas passo a passo aos itens (a)-(d).
Passo 3
Calcular o valor amortizado em cada prestação (item a).
Usando a fórmula de amortização constante:
Usando a fórmula de amortização constante:
Fazendo a divisão:
Explicando o cálculo: dividir
por
dá
exato, então a cada mês reduz-se o principal em
.
Passo 4
Preparação para calcular a
prestação (item b): fórmula e saldo antes da prestação.
Para a prestação temos
. O saldo devedor antes dessa prestação é
Para a
Substituindo os valores conhecidos (
e
):
Agora calculamos os juros dessa prestação (parte de juros da
prestação):
Fazendo a multiplicação:
(Detalhe do cálculo:
.)
Portanto a prestação total é
Portanto a prestação total
Passo 5
Calcular o saldo devedor na
prestação (item c).
É importante esclarecer o que significa “saldo devedor na prestação”: adotarei a convenção usual — saldo devedor imediatamente após o pagamento da
prestação. Nesse caso usamos
É importante esclarecer o que significa “saldo devedor na
Calculando:
Observação didática: no SAC o saldo devedor diminui linearmente com o número de prestações porque a amortização é constante.
Passo 6
Calcular os juros da
prestação (item d).
Para a prestação temos
. Os juros são calculados sobre o saldo antes dessa prestação,
:
Para a
Calculemos
:
Então
Agora os juros da prestação
são
Fazendo a multiplicação:
(Detalhe:
.)
Passo 7
Recapitulando os resultados encontrados (breve motivação):
- A amortização fixa por mês é
. - A prestação vai caindo ao longo do tempo porque os juros incidem sobre um saldo que diminui; por isso a prestação
é menor do que as primeiras prestações. - O saldo após a
prestação ficou pela metade do principal inicial exatamente porque metade de . - Os juros da
prestação são pequenos porque o saldo antes dessa prestação já é bem reduzido.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)