[2,5] Uma pessoa acabou de comprar um apartamento pela Caixa Econômica Federal. O banco concedeu um financiamento de \ 165.000 para a compra de um apartamento em Angicos - RN. Esse financiamento deverá ser liquidado em 25 anos em prestações mensais, calculadas de acordo com o Sistema de Amortização Constante (SAC). Sabendo-se que a taxa de juros é deáçõçãé1,22 %$ a.m., determine:
a) o valor amortizado em cada prestação.
b) o valor da 100^{\circ} prestação.
c) o saldo devedor na 150^{\circ} prestação.
d) o valor dos juros da 200^{\circ} prestação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
  • Montante do financiamento (principal): \$\,165.000.
  • Prazo: 25 anos com prestações mensais. Como cada ano tem 12 meses, o número total de prestações é
n = 25 \times 12 = 300.
  • Taxa de juros nominal mensal: 1,22\% ao mês. Em forma decimal:
i = 1,22\% = 0,0122.
O enunciado pede:
(a) o valor amortizado em cada prestação;
(b) o valor da 100^{\circ} prestação;
(c) o saldo devedor na 150^{\circ} prestação;
(d) o valor dos juros da 200^{\circ} prestação.

Passo 2

Explicar o Sistema de Amortização Constante (SAC) e as fórmulas que vamos usar — aula curta e direta.
  • No SAC a parcela de amortização do principal é constante em todas as prestações. Ou seja, a parte do pagamento que reduz o capital é sempre a mesma.
  • Se P é o principal (dívida inicial) e n é o número de prestações, a amortização constante por prestação A é
A = \frac{P}{n},
onde
  • P é o valor emprestado (no caso \$\,165.000),
  • n é o número total de prestações (no caso 300),
  • A é o valor da amortização fixo por prestação.
  • Em cada prestação k (com k=1,2,\dots,n), os juros cobrados são calculados sobre o saldo devedor antes do pagamento da prestação k. O saldo antes da k-ésima prestação é
S_{k-1} = P - (k-1)\,A.
  • A prestação total (valor pago na k-ésima vez) é
R_k = A + i\,S_{k-1},
onde i é a taxa de juros mensal em decimal.
  • O saldo devedor imediatamente após a k-ésima prestação é
S_k = P - k\,A.
  • Os juros da k-ésima prestação são simplesmente i\,S_{k-1}.
Agora vamos aplicar essas fórmulas passo a passo aos itens (a)-(d).

Passo 3

Calcular o valor amortizado em cada prestação (item a).
Usando a fórmula de amortização constante:
A = \frac{P}{n} = \frac{\$\,165.000}{300}.
Fazendo a divisão:
A = \$\,550.
Explicando o cálculo: dividir 165.000 por 300 550 exato, então a cada mês reduz-se o principal em \$\,550.

Passo 4

Preparação para calcular a 100^{\circ} prestação (item b): fórmula e saldo antes da prestação.
Para a 100^{\circ} prestação temos k=100. O saldo devedor antes dessa prestação é
S_{99} = P - 99\cdot A.
Substituindo os valores conhecidos ( P=\$\,165.000 e A=\$\,550):
99\cdot A = 99\cdot \$\,550 = \$\,54.450,
S_{99} = \$\,165.000 - \$\,54.450 = \$\,110.550.
Agora calculamos os juros dessa prestação (parte de juros da 100^{\circ} prestação):
\text{Juros}_{100} = i\,S_{99} = 0,0122 \times \$\,110.550.
Fazendo a multiplicação:
0,0122 \times 110.550 = \$\,1.348{,}71.
(Detalhe do cálculo: 110.550\times 0{,}0122 = 110.550\times\frac{122}{10.000} = \frac{13.487.100}{10.000} = 1.348{,}71.)
Portanto a prestação total R_{100} é
R_{100} = A + \text{Juros}_{100} = \$\,550 + \$\,1.348{,}71 = \$\,1.898{,}71.

Passo 5

Calcular o saldo devedor na 150^{\circ} prestação (item c).
É importante esclarecer o que significa “saldo devedor na 150^{\circ} prestação”: adotarei a convenção usual — saldo devedor imediatamente após o pagamento da 150^{\circ} prestação. Nesse caso usamos
S_{150} = P - 150\cdot A.
Calculando:
150\cdot A = 150\cdot \$\,550 = \$\,82.500,
S_{150} = \$\,165.000 - \$\,82.500 = \$\,82.500.
Observação didática: no SAC o saldo devedor diminui linearmente com o número de prestações porque a amortização é constante.

Passo 6

Calcular os juros da 200^{\circ} prestação (item d).
Para a 200^{\circ} prestação temos k=200. Os juros são calculados sobre o saldo antes dessa prestação, S_{199}:
S_{199} = P - 199\cdot A.
Calculemos 199\cdot A:
199\cdot \$\,550 = \$\,109.450.
Então
S_{199} = \$\,165.000 - \$\,109.450 = \$\,55.550.
Agora os juros da prestação 200 são
\text{Juros}_{200} = i\,S_{199} = 0,0122 \times \$\,55.550.
Fazendo a multiplicação:
0,0122 \times 55.550 = \$\,677{,}71.
(Detalhe: 55.550\times 0{,}0122 = 55.550\times\frac{122}{10.000} = \frac{6.777.100}{10.000} = 677{,}71.)

Passo 7

Recapitulando os resultados encontrados (breve motivação):
  • A amortização fixa por mês é \$\,550.
  • A prestação vai caindo ao longo do tempo porque os juros incidem sobre um saldo que diminui; por isso a prestação R_{100} é menor do que as primeiras prestações.
  • O saldo após a 150^{\circ} prestação ficou pela metade do principal inicial exatamente porque \;150\cdot550= metade de 165.000.
  • Os juros da 200^{\circ} prestação são pequenos porque o saldo antes dessa prestação já é bem reduzido.

Resposta

(a) \$\,550,00
(b) \$\,1.898,71
(c) \$\,82.500,00
(d) \$\,677,71

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