[2,5] Considere que 3,0 mols de \mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g}) são aquecidos sob pressão constante de 3,25 \mathrm{~atm}, com a temperatura passando de 260 K para 285 K . Calcule q, \Delta H e \Delta U para esse processo. (Dado C_{p, m}\left(O_{2}\right)=29,4 J / \mathrm{Kmol} )
Extra [2,0] Considere a condensação reversível de 2,0 mols de \mathrm{CH}_{3} \mathrm{OH}(\mathrm{g}) a 64^{\circ} \mathrm{C}. A entalpia padrão de vaporização do metanol nesta temperatura é 35,3 \mathrm{kJmol}^{-1}. Calcule q, w, \Delta H e \Delta U para este processo. [Dica: Considere que V (liquido) << V (gás)].

Passo 1

Aqui estão os pedidos e os dados que o enunciado fornece — vou separar claramente cada problema.
Para o problema principal (aquecimento do oxigênio):
  • Perguntas: calular q, \Delta H e \Delta U para o processo.
  • Dados fornecidos: n=3,0\\ \mathrm{mol}, \quad P=\;3,25\\ \mathrm{atm}, \quad T_i=260\\ \mathrm{K}, \quad T_f=285\\ \mathrm{K},
C_{p,m}\big(O_2\big)=29,4\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • Observação importante (do enunciado): aquecimento a pressão constante.
Para o extra (condensação do metanol):
  • Perguntas: calcular q, w, \Delta H e \Delta U para a condensação reversível de 2,0\\ \mathrm{mol} de \mathrm{CH_3OH(g)} a 64^\circ\mathrm{C}.
  • Dados fornecidos: n=2,0\\ \mathrm{mol},\qquad T=64^\circ\mathrm{C}=337\\ \mathrm{K},entalpia padrão de vaporização a essa temperatura: \Delta_\mathrm{vap}H^\circ=35,3\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
  • Dica do enunciado: considerar V_{\text{líq}}\ll V_{\text{gas}}í.
  • Não foi dada explicitamente a pressão, mas o processo é reversível de condensação (ocorre à pressão de vapor), então vamos usar a aproximação ideal do gás para o volume gasoso quando necessário.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadinhos, devagar e na prática):
  1. Calor a pressão constante: quando um processo ocorre a pressão constante, o calor trocado com a vizinhança é igual à variação de entalpia do sistema:
q_P=\Delta H.
Aqui q_P é o calor trocado com o sistema (positivo se o sistema recebe calor) e \Delta H é a variação de entalpia.
  1. Para uma substância cuja capacidade térmica molar à pressão constante C_{p,m} é aproximadamente constante no intervalo de temperatura dado, a variação de entalpia ao aquecer sem mudança de fase é
\Delta H = n\,C_{p,m}\,\Delta T,
onde n é o número de mols e \Delta T=T_f-T_i.
  1. Relação entre entalpia e energia interna:
H=U+pV \quad\Rightarrow\quad \Delta H=\Delta U+\Delta(pV).
Para um gás ideal em um processo onde o número de mols é constante, \Delta(pV)=nR\Delta T se o gás ocupa o volume em ambos os estados como gás ideal. Assim, frequentemente:
\Delta U=\Delta H - nR\Delta T.
Aqui R é a constante universal dos gases: R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  1. Primeira lei da termodinâmica (útil para o extra):
\Delta U = q + w,
onde w é o trabalho feito sobre o sistema (convenção química: trabalho feito sobre o sistema é positivo). Para trabalho de expansão/compressão reversível a pressão externa quase igual à interna:
w=-\int p_\text{ext}\,dV \approx -p_\text{ext}\Delta V.
Se V_{\text{líq}}\ll V_{\text{gas}}í, na condensação \Delta V\approx V_{\text{líq}}-V_{\text{gas}}\approx -V_{\text{gas}}í, então
w\approx -p_\text{ext}(-V_{\text{gas}})=p_\text{ext}V_{\text{gas}}.
Usando a equação dos gases ideais para o volume do gás inicial, pV_{\text{gas}}=nRT, resulta
w\approx nRT.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao primeiro problema (aquecimento de \mathrm{O_2}) — cálculos passo a passo.
  1. Calcular \Delta T:
\Delta T = T_f - T_i = 285 - 260 = 25\\ \mathrm{K}.
  1. Calor a pressão constante e variação de entalpia:
q=\Delta H = n\,C_{p,m}\,\Delta T.
Substituindo os valores (tudo em LaTeX):
q=\Delta H = 3{,}0\\ \mathrm{mol}\times 29{,}4\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\times 25\\ \mathrm{K}.
Faço a conta em etapas: 29{,}4\times 25=735{,}0\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}. Multiplicando por 3{,}0\\ \mathrm{mol}
q=\Delta H = 3{,}0\times 735{,}0\\ \mathrm{J}=2205\\ \mathrm{J}.
É prático também escrever em kJ:
q=\Delta H = 2{,}205\\ \mathrm{kJ}.
  1. Variação da energia interna \Delta U:
    Usando \Delta U=\Delta H - nR\Delta T (porque o oxigênio permanece como gás ideal e o número de mols é constante),
\Delta U = 2205\\ \mathrm{J} - 3{,}0\\ \mathrm{mol}\times 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\times 25\\ \mathrm{K}.
Calculo do termo nR\Delta T:
8{,}314\times 25 = 207{,}85\\ \mathrm{J\,mol^{-1}},\quad 3{,}0\times 207{,}85 = 623{,}55\\ \mathrm{J}.
Logo
\Delta U = 2205\\ \mathrm{J} - 623{,}55\\ \mathrm{J} = 1581{,}45\\ \mathrm{J}\approx 1{,}581\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação rápida e amigável: parte do calor fornecido foi “gasto” em aumentar a energia interna das moléculas e parte foi convertido em trabalho de expansão (como a entalpia é maior que a energia interna porque o gás aumenta pV).

Passo 4

Aplicando as fórmulas ao extra (condensação reversível de \mathrm{CH_3OH}) — cálculos passo a passo.
  1. Primeiro, entenda o processo: condensação é a transformação de gás em líquido. A entalpia de vaporização dada é para o processo inverso (vaporização); para a condensação o sinal se inverte.
  2. Variação de entalpia \Delta H do processo (condensação de 2{,}0\\ \mathrm{mol}):
\Delta H = -n\,\Delta_\mathrm{vap}H^\circ = -2{,}0\\ \mathrm{mol}\times 35{,}3\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
\Delta H = -70{,}6\\ \mathrm{kJ}.
(Sinal negativo porque calor é liberado ao condensas.)
  1. Calor q a pressão constante:
    Como a condensação é feita reversivelmente à pressão de vapor (processo praticamente isobárico), o calor trocado é igual à variação de entalpia:
q=\Delta H = -70{,}6\\ \mathrm{kJ}.
  1. Trabalho w (aproximação usando V_{\text{líq}}\ll V_{\text{gas}}í e gás ideal):
    Para condensação reversível,
w\approx nRT,
com T=337\\ \mathrm{K}, n=2{,}0\\ \mathrm{mol} e R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}. Calculo:
w \approx 2{,}0\times 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\times 337\\ \mathrm{K}.
Faço a conta:
8{,}314\times 337 = 2801{,}82\\ \mathrm{J\,mol^{-1}},\quad 2{,}0\times 2801{,}82 = 5603{,}64\\ \mathrm{J}.
Em kJ:
w \approx 5{,}604\\ \mathrm{kJ}.
Observação de sinal: este w é positivo segundo a convenção química usada aqui (é o trabalho feito sobre o sistema pela compressão durante a condensação).
  1. Variação da energia interna \Delta U usando a primeira lei:
\Delta U = q + w = (-70{,}6\\ \mathrm{kJ}) + (5{,}604\\ \mathrm{kJ}) = -65{,}0\\ \mathrm{kJ}.
Verificação com relação entalpia/energia interna:
\Delta U = \Delta H - \Delta(pV).
Como pV final (líquido) é desprezível frente ao pV inicial (gás ideal), \Delta(pV)\approx -nRT, então \Delta U \approx \Delta H + nRT, que dá o mesmo resultado numérico acima.

Resposta

\;q=2{,}205\\ \mathrm{kJ},\\ \Delta H=2{,}205\\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U=1{,}581\\ \mathrm{kJ}
\;q=-70{,}6\\ \mathrm{kJ},\\ w=+5{,}604\\ \mathrm{kJ},\\ \Delta H=-70{,}6\\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U=-65{,}0\\ \mathrm{kJ}

Exercícios relacionados