O estudo experimental da reação entre o hidrogenossulfito de sódio e o iodato de potássio gerou os seguintes dados:
Tabela 1. - Constante de velocidade para diferentes temperaturas.
\mathrm{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) 2 10 20 25 35 40
\mathrm{k}\left(\mathrm{s}^{-1}\right) 0,0126 0,017 0,020 0,027 0,028 0,038
Determine a energia de ativação e o fator de frequência desta reação.

Passo 1

O enunciado (Tabela 1) fornece constantes de velocidade k para várias temperaturas T. Vou listar os dados que peguei da tabela:
Temperaturas (em {}^\circ\mathrm{C}): 2,\;10,\;20,\;25,\;35,\;40.
Constantes de velocidade (em \mathrm{s}^{-1}): 0{,}0126,\;0{,}017,\;0{,}020,\;0{,}027,\;0{,}028,\;0{,}038.
O que se pede: determinar a energia de ativação E_a e o fator de frequência A da reação.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (da tabela / teoria experimental): a equação de Arrhenius relaciona k, A, E_a, R e T:
k = A \, e^{-E_a/(R\,T)}.
Explicando cada termo de forma didática:
  • k é a constante de velocidade (aqui em \mathrm{s}^{-1}).
  • A é o fator de frequência (ou pré-exponencial), com mesma dimensão de k quando a expressão exponencial é adimensional; para reações de primeira ordem A tem dimensão \mathrm{s}^{-1}.
  • E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J\\ mol^{-1}}).
  • R é a constante dos gases, R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
  • T é a temperatura em kelvin ( \mathrm{K}).
    Para extrair E_a é comum linearizar a equação tomando logaritmo natural:
\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R}\cdot\frac{1}{T}.
Isso é uma reta se plotarmos \ln k vs. 1/T: inclinação -E_a/R e intercepto \ln A.

Passo 3

Método escolhido (explico e justifico): para ser rápido e confiável em prova podemos usar a forma de dois pontos da versão linearizada da Arrhenius:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Dessa expressão isolamos E_a:
E_a = -R\;\frac{\ln(k_2/k_1)}{(1/T_2 - 1/T_1)}.
Escolhi usar os pontos com temperatura mais baixa e mais alta (extremos) (T_1,k_1) e (T_2,k_2) porque a diferença entre 1/T fica maior e reduz o efeito relativo de erro experimental — é prática comum quando não vamos fazer regressão linear com todos os pontos.

Passo 4

Converter as temperaturas escolhidas para kelvin. Peguei da tabela o menor e o maior:
  • T_1 = 2\;^\circ\mathrm{C} = 2 + 273{,}15 = 275{,}15\\ \mathrm{K}.
  • T_2 = 40\;^\circ\mathrm{C} = 40 + 273{,}15 = 313{,}15\\ \mathrm{K}.
    Peguei também as constantes de velocidade correspondentes da tabela: k_1 = 0{,}0126\\ \mathrm{s}^{-1} e k_2 = 0{,}038\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 5

Calcular \ln(k_2/k_1) e (1/T_2-1/T_1) com cuidado aritmético (explico cada passo):
Primeiro a razão:
\frac{k_2}{k_1}=\frac{0{,}038}{0{,}0126}\approx 3{,}015873.
Tomando ln:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)\approx \ln(3{,}015873)\approx 1{,}1039.
Agora as inversas das temperaturas:
\frac{1}{T_2}=\frac{1}{313{,}15}\approx 0{,}0031930\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{1}{T_1}=\frac{1}{275{,}15}\approx 0{,}0036326\\ \mathrm{K^{-1}}.
Diferença:
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\approx 0{,}0031930-0{,}0036326=-0{,}0004396\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 6

Calcular E_a usando a fórmula de dois pontos e R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}:
E_a = -R\;\frac{\ln(k_2/k_1)}{(1/T_2 - 1/T_1)}.
Substituindo os números:
E_a \approx -8{,}314\cdot\frac{1{,}1039}{-0{,}0004396}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Primeiro calculamos o numerador multiplicado por -R: -8{,}314\times 1{,}1039 \approx -9{,}176. Dividindo por -0{,}0004396
E_a \approx \frac{9{,}176}{0{,}0004396}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}\approx 20\,886\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Convertendo para unidades mais usualmente usadas:
E_a \approx 20{,}9\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.

Passo 7

Determinar o fator de frequência A. Da equação de Arrhenius isolamos A:
A = k \, e^{E_a/(R\,T)}.
Usamos, por exemplo, o ponto em T_2=313{,}15\\ \mathrm{K} com k_2=0{,}038\\ \mathrm{s^{-1}}. Substituindo E_a=20\,886\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}:
\frac{E_a}{R\,T_2}=\frac{20\,886}{8{,}314\cdot 313{,}15}\approx 8{,}020.
Logo
e^{E_a/(R\,T_2)}\approx e^{8{,}020}\approx 3{,}041{,}0.
Portanto
A \approx 0{,}038\times 3{,}041{,}0 \approx 115{,}6\\ \mathrm{s^{-1}}.
Arredondando de forma coerente com os dados:
A \approx 1{,}16\times 10^{2}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Resposta

E_a \approx 20{,}9\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}
A \approx 1{,}16\times 10^{2}\\ \mathrm{s^{-1}}

Exercícios relacionados