- Dado um triângulo retângulo cujo as medidas dos seus catetos são iguais as
e 6 m . Determine o valor da hipotenusa e de todos os seus ângulos internos.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo retângulo cujos catetos medem
e
. Pede-se:
- Determinar a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto).
- Determinar todos os ângulos internos do triângulo (os dois agudos e o reto).
Informações relevantes:
- Cateto
(um dos catetos). - Cateto
(o outro cateto). - Há um ângulo reto:
.
Passo 2
Vamos calcular a hipotenusa usando o Teorema de Pitágoras. Vou explicar o que é e como usar.
O Teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Em fórmulas:
onde:
-
é a hipotenusa, -
e são os catetos.
Aqui
e
, então aplicamos diretamente a fórmula.
Passo 3
Calculemos
:
Agora desenvolvemos cada termo:
Portanto
Tomando raiz quadrada (sempre positiva para comprimento):
Simplificando a raiz:
Logo a hipotenusa é
.
Se quiser uma aproximação decimal (apenas para referência):
Passo 4
Agora vamos achar os ângulos agudos. Primeiro, explico de forma simples as razões trigonométricas num triângulo retângulo:
Para um ângulo agudo
do triângulo retângulo, definimos:
-
, -
, -
.
Essas definições servem para relacionar comprimentos com ângulos. Em provas, muitas vezes usa-se a razão mais simples que dá número reconhecível (por exemplo
,
,
, etc.), porque esses valores correspondem a ângulos conhecidos (
, …).
Passo 5
Escolho nomear os ângulos agudos assim:
-
é o ângulo oposto ao cateto . -
é o ângulo oposto ao cateto .
Vamos calcular
. Uso a tangente (é direto porque envolve só catetos):
Simplificando a fração:
Então
Conhecemos a tangente dos ângulos notáveis:
. Portanto
Em radianos isso é
.
O outro ângulo agudo
satisfaz
ou em radianos
.
(Alternativamente poderíamos ter usado
, que também leva a
.)
Passo 6
Resumo final e observações para a prova:
- Hipotenusa em forma exata é preferível (
). Se pedirem aproximação, use (arredondando). - Ângulos internos: sempre haverá o reto
e os agudos e . Esses valores vêm diretamente das razões trigonométricas que calcularam ou .
Força nos estudos — triângulos retângulos com catetos em fatores de
costumam dar
/
e hipotenusa com fator
ou
, então vale decorar os padrões!