1. Dado um triângulo retângulo cujo as medidas dos seus catetos são iguais as 2 \sqrt{3} \mathrm{~m} e 6 m . Determine o valor da hipotenusa e de todos os seus ângulos internos.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo cujos catetos medem \,2\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\, e \,6\\ \mathrm{m}\,. Pede-se:
  • Determinar a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto).
  • Determinar todos os ângulos internos do triângulo (os dois agudos e o reto).
Informações relevantes:
  • Cateto a = 2\sqrt{3}\\ \mathrm{m} (um dos catetos).
  • Cateto b = 6\\ \mathrm{m} (o outro cateto).
  • Há um ângulo reto: \,90^\circ.

Passo 2

Vamos calcular a hipotenusa usando o Teorema de Pitágoras. Vou explicar o que é e como usar.
O Teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Em fórmulas:
c^{2} = a^{2} + b^{2},
onde:
  • c é a hipotenusa,
  • a e b são os catetos.
Aqui a = 2\sqrt{3} e b = 6, então aplicamos diretamente a fórmula.

Passo 3

Calculemos c^{2}:
c^{2} = (2\sqrt{3})^{2} + 6^{2}.
Agora desenvolvemos cada termo:
(2\sqrt{3})^{2} = 2^{2}\cdot (\sqrt{3})^{2} = 4\cdot 3 = 12,
6^{2} = 36.
Portanto
c^{2} = 12 + 36 = 48.
Tomando raiz quadrada (sempre positiva para comprimento):
c = \sqrt{48}.
Simplificando a raiz:
\sqrt{48} = \sqrt{16\cdot 3} = 4\sqrt{3}.
Logo a hipotenusa é \,4\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.
Se quiser uma aproximação decimal (apenas para referência):
4\sqrt{3}\approx 4\cdot 1{,}732\approx 6{,}928\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora vamos achar os ângulos agudos. Primeiro, explico de forma simples as razões trigonométricas num triângulo retângulo:
Para um ângulo agudo \theta do triângulo retângulo, definimos:
  • \sin\theta = \dfrac{\text{cateto oposto a }\theta}{\text{hipotenusa}},
  • \cos\theta = \dfrac{\text{cateto adjacente a }\theta}{\text{hipotenusa}},
  • \tan\theta = \dfrac{\text{cateto oposto a }\theta}{\text{cateto adjacente a }\theta}.
Essas definições servem para relacionar comprimentos com ângulos. Em provas, muitas vezes usa-se a razão mais simples que dá número reconhecível (por exemplo \tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}, \tfrac{1}{\sqrt{3}}, etc.), porque esses valores correspondem a ângulos conhecidos ( 30^\circ,60^\circ,45^\circ, …).

Passo 5

Escolho nomear os ângulos agudos assim:
  • A é o ângulo oposto ao cateto a = 2\sqrt{3}.
  • B é o ângulo oposto ao cateto b = 6.
Vamos calcular A. Uso a tangente (é direto porque envolve só catetos):
\tan A=\dfrac{\text{cateto oposto a }A}{\text{cateto adjacente a }A}=\dfrac{a}{b}=\dfrac{2\sqrt{3}}{6}.
Simplificando a fração:
\dfrac{2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
Então
\tan A=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
Conhecemos a tangente dos ângulos notáveis: \tan 30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Portanto
A=30^\circ.
Em radianos isso é A=\dfrac{\pi}{6}.
O outro ângulo agudo B satisfaz
B = 90^\circ - A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ,
ou em radianos B=\dfrac{\pi}{3}.
(Alternativamente poderíamos ter usado \sin A = \dfrac{a}{c} = \dfrac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}, que também leva a A=30^\circ.)

Passo 6

Resumo final e observações para a prova:
  • Hipotenusa em forma exata é preferível ( 4\sqrt{3}\\ \mathrm{m}). Se pedirem aproximação, use 6{,}93\\ \mathrm{m} (arredondando).
  • Ângulos internos: sempre haverá o reto 90^\circ e os agudos 30^\circ e 60^\circ. Esses valores vêm diretamente das razões trigonométricas que calcularam \tan ou \sin.
Força nos estudos — triângulos retângulos com catetos em fatores de \sqrt{3} costumam dar 30^\circ/ 60^\circ e hipotenusa com fator 2 ou 4, então vale decorar os padrões!

Resposta

\text{Hipotenusa} = 4\sqrt{3}\\ \mathrm{m}
\text{Ângulos internos: }90^\circ,\;60^\circ,\;30^\circÂ

Exercícios relacionados