[2,5] Oscilações. Um bloco ligado a uma mola executa um movimento harmônico simples ao longo do eixo x em um plano horizontal sem atrito. No instante t=0, o bloco é abandonado do repouso, na posição x(t=0)=A, onde \boldsymbol{A}(>\mathbf{0}) é a amplitude do movimento. Suponha que, para t>0, a posição do bloco seja dada por x(t)=A \cos (\omega t+\varphi), onde \boldsymbol{\omega} denota a frequência angular das oscilações.
(a) [0,5] Calcule o valor da constante de fase \varphi.
(b) [1,0] Calcule o instante \boldsymbol{t} para o qual a posição do bloco é metade de sua posição em t=0. Expresse seu resultado em termos de \omega.
(c) [1,0] Calcule a velocidade do bloco (módulo, direção e sentido) no instante t=\frac{\pi}{4 \omega}. Expresse seu resultado em termos de A e \omega.
Dados: \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}, \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento harmônico simples dado por
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)
com condições iniciais em t=0: o bloco parte do repouso em x(0)=A.
Vamos encontrar:
– (a) a fase \varphi;
– (b) o instante t>0 tal que x(t)=\tfrac A2;
– (c) a velocidade (módulo, direção e sentido) em t=\tfrac{\pi}{4\omega}.

Passo 2

Em t=0 temos
x(0)=A\cos\varphi=A\quad\Rightarrow\quad\cos\varphi=1
e a velocidade
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)
v(0)=-A\omega\sin\varphi=0\quad\Rightarrow\quad\sin\varphi=0.
As únicas soluções que satisfazem simultaneamente \cos\varphi=1 e \sin\varphi=0 são \varphi=2\pi n. Tomando o menor valor positivo, fica \varphi=0.

Passo 3

Queremos x(t)=\tfrac A2, ou seja
A\cos(\omega t)=\frac A2 \quad\Rightarrow\quad \cos(\omega t)=\frac12.
A solução básica para \omega t no primeiro quadrante é \omega t=\tfrac{\pi}{3}. Logo
t=\frac{\pi}{3\,\omega}.

Passo 4

A velocidade geral é
v(t)=-A\omega\sin(\omega t).
Em t=\tfrac{\pi}{4\omega} temos \omega t=\tfrac{\pi}{4} e \sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt2}{2}, portanto
v\Bigl(\tfrac{\pi}{4\omega}\Bigr) =-A\omega\cdot\frac{\sqrt2}{2} =-\frac{A\omega\sqrt2}{2}.
O sinal negativo indica que o bloco se move no sentido negativo do eixo x, e o módulo da velocidade é \tfrac{A\omega\sqrt2}{2}.

Resposta

(a) \varphi=0.
(b) t=\displaystyle\frac{\pi}{3\,\omega}.
(c) v\bigl(\tfrac{\pi}{4\omega}\bigr)=-\tfrac{A\omega\sqrt2}{2}, ou seja, módulo \tfrac{A\omega\sqrt2}{2} no sentido negativo de x.

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