Para um elétron com energia cinética de 500 \mathrm{keV}\left(1 \mathrm{keV}=1000 \mathrm{eV} ; 1 \mathrm{eV}=1,6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\right), típica daquela encontrada na aurora boreal, calcule o raio de Larmor num campo de intensidade 0,5 \mathrm{G} (assuma-o uniforme). Utilize a expressão da energia cinética E_{c} com correção relativística para determinar a velocidade do elétron. Dados: massa do elétron m=9,1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}, carga do elétron e=1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C} e velocidade da luz c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá um elétron com energia cinética de 500\\ \mathrm{keV} e um campo magnético uniforme de 0,5\\ \mathrm{G}. Precisamos calcular o raio de Larmor
r_L = \frac{p}{e\,B}
onde p=\gamma m v é o momento relativístico do elétron. Usaremos a relação relativística
E_c = (\gamma - 1)\,m\,c^2
para determinar o fator de Lorentz \gamma e a velocidade v.

Passo 2

Convertemos os dados para unidades SI:
Energia cinética
E_c = 500\times10^3\\ \mathrm{eV}\times1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV} = 8{,}0\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
Campo magnético
B = 0{,}5\\ \mathrm{G}\times10^{-4}\\ \mathrm{T/G} = 5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.

Passo 3

Calculamos o fator de Lorentz \gamma a partir de
\gamma - 1 = \frac{E_c}{m\,c^2},
onde
m\,c^2 = 9{,}1\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}\times(3{,}0\times10^8\\ \mathrm{m/s})^2 =8{,}19\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
Logo
\gamma = 1 + \frac{8{,}0\times10^{-14}}{8{,}19\times10^{-14}} \approx 1{,}98.

Passo 4

Calculamos a velocidade v pela relação
v = c\sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} =3{,}0\times10^8\\ \mathrm{m/s}\,\sqrt{1 - \frac{1}{(1{,}98)^2}} \approx 2{,}59\times10^8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

O momento relativístico é
p = \gamma\,m\,v \approx 1{,}98\times9{,}1\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}\times2{,}59\times10^8\\ \mathrm{m/s} \approx4{,}66\times10^{-22}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 6

Finalmente, o raio de Larmor fica
r_L = \frac{p}{e\,B} = \frac{4{,}66\times10^{-22}}{(1{,}6\times10^{-19})(5{,}0\times10^{-5})} \approx5{,}8\times10^1\\ \mathrm{m}.

Resposta

O raio de Larmor é aproximadamente 5{,}8\times10^{1}\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados