Considere um fio condutor muito longo, cilindrico, de raio a, que transporta uma corrente estacionária i. Utilize a lei de Ampère para determinar o campo magnético para distâncias r do cixo axial do fio, tais que r<a e r \geq a. Esboce o gráfico do módulo do campo magnético como uma funçăo de r.

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético \mathbf{B} em torno de um fio cilíndrico muito longo de raio a que transporta corrente estacionária i. Como o fio é muito longo e tem distribuição de corrente uniforme na seção, vamos usar densidade de corrente constante
J = \frac{i}{\pi a^2}
e a Lei de Ampère para circuitos de simetria cilíndrica.

Passo 2

A Lei de Ampère diz que, para uma curva fechada C que percorre um círculo de raio r concêntrico ao fio, vale
\oint_C \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} \;=\;\mu_0\,I_{\rm int},
onde I_{\rm int} é a corrente que atravessa a superfície limitada por C. Por simetria, \mathbf{B} é tangencial ao círculo e de módulo constante em todo o traçado, de modo que
B(r)\,(2\pi r) \;=\;\mu_0\,I_{\rm int}.

Passo 3

Caso r<a, só a corrente que está dentro do raio r contribui. Como a densidade é uniforme,
I_{\rm int} \;=\; J\;\bigl(\pi r^2\bigr) \;=\;\frac{i}{\pi a^2}\,\pi r^2 \;=\;i\,\frac{r^2}{a^2}.
Substituindo em Ampère:
B(r)\,(2\pi r) \;=\;\mu_0\,i\,\frac{r^2}{a^2} \quad\longrightarrow\quad B(r) \;=\;\frac{\mu_0\,i}{2\pi}\,\frac{r}{a^2}, \quad r<a.

Passo 4

Para r\ge a, o círculo de raio r envolve toda a corrente i. Assim
I_{\rm int}=i \quad\Longrightarrow\quad B(r)\,(2\pi r)=\mu_0\,i \quad\Longrightarrow\quad B(r)=\frac{\mu_0\,i}{2\pi\,r}, \quad r\ge a.

Passo 5

No gráfico de B(r) versus r (eixo horizontal), temos:
– Para 0\le r\le a, B(r) cresce linearmente desde zero até
B(a)=\frac{\mu_0\,i}{2\pi\,a}.
– Para r\ge a, B(r) decai como 1/r.
Esboço qualitativo:

│ \
│ \ 1/r
│ \
│ \
│ |\ ► regime externo
│ | \
│ | \
│ / \
│ / \ ► regime interno (linear)
│ /
└─────────────────── r
0 a

Resposta

B(r)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\mu_0\,i}{2\pi}\,\frac{r}{a^2},&r<a,\\[6pt] \displaystyle \frac{\mu_0\,i}{2\pi\,r},&r\ge a. \end{cases}
O gráfico de B(r) é uma linha reta até r=a e depois decai como 1/r.]

Exercícios relacionados