Questão 3: (2,0) Um mol gás ideal monoatômico está em um estado de equilíbrio com pressão P_{i}=2 \mathrm{~atm} e volume V_{i}=1 \ell, chamemos esse estado de estado inicial. Considere a tabela abaixo que define os estados de equilíbrio \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}, \mathbf{E} e \mathbf{F} de acordo com suas pressões e volumes.
Estado A B C D E F
Pressão (atm) 1 / 16 1 / 2 1 3 4 8
Volume (\ell) 8 4 1 / 4 3 / 2 1 / 2 16
a) (1,0) Qual(is) desses estados faz(em) parte da mesma curva isotérmica que o estado inicial do gás? Ou seja, qual(is) dos estados acima possui(em) a mesma temperatura que o estado inicial.
b) (1,0) Qual(is) desses estados faz(em) parte da mesma curva adiabática que o estado inicial do gás?

Passo 1

O enunciado descreve 1 mol de gás ideal monoatômico no estado inicial com pressão P_i=2\\ \mathrm{atm} e volume V_i=1\\ \ell. Para identificar estados na mesma isotérmica usamos a lei dos gases ideais
P\,V = n\,R\,T
que mostra que a temperatura é proporcional a P\,V. Para a mesma adiabática usamos
P\,V^\gamma = \text{constante}
com \gamma = 5/3 para gás monoatômico.

Passo 2

Calculemos o produto P\,V no estado inicial e nos estados dados: P_iV_i = 2 \cdot 1 = 2.
Nos demais estados:
\begin{aligned} P_A V_A &= \tfrac{1}{16}\cdot8 = 0,5,\\\ P_B V_B &= \tfrac{1}{2}\cdot4 = 2,\\\ P_C V_C &= 1\cdot\tfrac{1}{4} = 0,25,\\\ P_D V_D &= 3\cdot\tfrac{3}{2} = 4,5,\\\ P_E V_E &= 4\cdot\tfrac{1}{2} = 2,\\\ P_F V_F &= 8\cdot16 = 128. \end{aligned}
Somente em B e E o valor de P\,V coincide com 2, ou seja, têm a mesma temperatura do estado inicial.

Passo 3

Portanto, os estados na mesma isotérmica do inicial são B e E.

Passo 4

Agora calculemos a constante adiabática inicial:
P_i\,V_i^\gamma = 2\cdot1^{5/3} = 2.
Em cada estado avaliamos P\,V^{5/3}:
\begin{aligned} P_A V_A^{5/3} &= \tfrac{1}{16}\cdot8^{5/3} = \tfrac{1}{16}\cdot32 = 2,\\\ P_B V_B^{5/3} &= \tfrac{1}{2}\cdot4^{5/3}\approx5{,}04,\\\ P_C V_C^{5/3} &= 1\cdot\bigl(\tfrac14\bigr)^{5/3}\approx0{,}10,\\\ P_D V_D^{5/3} &= 3\cdot(1{,}5)^{5/3}\approx5{,}90,\\\ P_E V_E^{5/3} &= 4\cdot(0{,}5)^{5/3}\approx1{,}26,\\\ P_F V_F^{5/3} &= 8\cdot16^{5/3}\approx813. \end{aligned}
Só em A esse produto vale 2, igual ao estado inicial.

Passo 5

Logo, o único estado na mesma adiabática do inicial é A.

Resposta

a) B e E
b) A

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