Dentro de um recipiente fechado e termicamente isolado, junta-se 100 g de água a 50^{\circ} \mathrm{C} com um bloco de 500 g de um metal a 200^{\circ} \mathrm{C}. No equilíbrio, percebe-se que há 80 g de água no estado líquido.
a) Determine a temperatura de equilíbrio do sistema.
b) Determine o calor específico do metal em questão.
c) Qual é a variação total de entropia do sistema?
\text { Cágua }=1 \mathrm{cal} /(\mathrm{g} \cdot \mathrm{~K}) \quad ; \quad \text { Lágua-vaporização }=550 \mathrm{cal} / \mathrm{g}ááçã

Passo 1

O enunciado mistura 100,g de água a 50^\circ\mathrm{C} com um bloco de 500,g de um metal a 200^\circ\mathrm{C} num recipiente adiabático. No equilíbrio sobra 80,g de água líquida e, portanto, 20,g de água vaporizaram. Vamos usar:
– Capacidade térmica da água líquida c_{\ell}=1,cal/( g\cdot K)
– Calor latente de vaporização L=550,cal/g
– Conservação de energia
– Cálculo de entropia via \Delta S=\int \frac{dQ_\text{rev}}T

Passo 2

Como há vapor e líquido coexistindo em equilíbrio à pressão ambiente, a temperatura de equilíbrio é exatamente o ponto de ebulição da água:
T_{\mathrm{eq}} = 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Aplicamos conservação de energia (calor perdido pelo metal = calor ganho pela água):
500\,c_m\,(200 - T_{\mathrm{eq}}) =100\cdot1\,(T_{\mathrm{eq}} - 50) +20\cdot550.

Passo 4

Substituindo T_{\mathrm{eq}}=100 na equação de energia:
500\,c_m\,(200 - 100) =100\,(100 - 50)+20\cdot550 \quad\Longrightarrow\quad 500\,c_m\cdot100 =5000+11000=16000
c_m = \frac{16000}{500\cdot100}=0,32\\ \mathrm{cal/(g\cdot K)}.

Passo 5

Calculamos as variações de entropia de cada parte, usando temperatura em Kelvin 50^\circ\mathrm{C}=323,K e 100^\circ\mathrm{C}=373,K):
  1. Água líquida aquecida de 323 K a 373 K (massa 100 g):
\Delta S_1 = m_{\ell,i}\,c_{\ell}\,\ln\frac{T_{\mathrm{eq}}}{T_{\ell,i}} =100\cdot1\cdot\ln\frac{373}{323} \approx100\cdot0{,}14397 =14{,}4\\ \mathrm{cal/K}.
  1. Vaporização de 20 g de água a 373 K:
\Delta S_2 = m_{\mathrm{vap}}\,\frac{L}{T_{\mathrm{eq}}} =20\cdot\frac{550}{373} \approx29{,}5\\ \mathrm{cal/K}.
  1. Metal resfriando de 473 K a 373 K (massa 500 g e c_m=0{,}32:
\Delta S_3 = m_m\,c_m\,\ln\frac{T_{\mathrm{eq}}}{T_{m,i}} =500\cdot0{,}32\cdot\ln\frac{373}{473} =160\cdot(-0{,}2374) \approx -38{,}0\\ \mathrm{cal/K}.

Passo 6

Somando as três contribuições:
\Delta S_{\mathrm{total}} =\Delta S_1 + \Delta S_2 + \Delta S_3 \approx14{,}4 +29{,}5 -38{,}0 =5{,}9\\ \mathrm{cal/K}.

Resposta

(a) T_{\mathrm{eq}}=100^\circ\mathrm{C}.
(b) c_m=0,32\\ \mathrm{cal/(g\cdot K)}.
(c) \Delta S_{\mathrm{total}}\approx5,9\\ \mathrm{cal/K}.

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