Questão 3: (2,5 pts) Quais são os comprimentos iniciais de uma barra de cobre e de aço se a barra de aço é 4 cm mais longa do que a de cobre em qualquer temperatura? Use
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os comprimentos iniciais (no estado de referência, antes de variação de temperatura) de uma barra de cobre e de uma barra de aço, sabendo que a barra de aço é sempre
mais longa que a de cobre em qualquer temperatura. As informações fornecidas (peguei do enunciado) são:
- Coeficiente de dilatação linear do aço:
. - Coeficiente de dilatação linear do cobre:
.
O que precisamos encontrar são os comprimentos iniciais (no mesmo estado de referência de temperatura) de: - comprimento inicial do cobre:
(em cm); - comprimento inicial do aço:
(em cm).
Passo 2
Explicando a fórmula que vamos usar (aula rápida e direta): para dilatação linear, o comprimento
de uma barra à temperatura alterada em
em relação à temperatura inicial vale
onde:
-
é o comprimento à nova temperatura; -
é o comprimento inicial (o que queremos achar); -
é o coeficiente de dilatação linear da substância (por grau Celsius); -
é a variação de temperatura (em ).
Essa fórmula é uma aproximação linear válida para pequenas e moderadas variações de temperatura e é a fórmula padrão em exercícios deste tipo.
Passo 3
Aplicando a fórmula às duas barras: para qualquer
vale
A condição do enunciado é: a barra de aço é sempre
mais longa que a de cobre, isto é, para todo
,
Substituindo as expressões:
Passo 4
Raciocínio chave: a igualdade acima vale para todo
Explicando: escrevemos a igualdade como uma identidade em
) e, para que seja verdadeira para todo
, os coeficientes das potências de
devem coincidir.]
Passo 5
Vamos resolver o sistema. Da segunda equação isolamos
:
Substituindo na primeira equação:
Colocando os
juntos:
portanto
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos (peguei estes valores do enunciado):
Então
Logo
Passo 7
Com
encontrado, obtemos
por
:
Verificação rápida (confirmação de consistência): calcule-se a razão
, que é exatamente
, portanto a segunda equação do sistema é satisfeita.
Resposta
Comprimento inicial do cobre:
Comprimento inicial do aço:
Comprimento inicial do aço: