Questão 3: (2,5 pts) Quais são os comprimentos iniciais de uma barra de cobre e de aço se a barra de aço é 4 cm mais longa do que a de cobre em qualquer temperatura? Use \alpha_{a c o}=\left(1,1 \times 10^{5}\right)^{\circ} \mathrm{C}^{-1} e \alpha_{\text {cobre }}=\left(1,7 \times 10^{5}\right)^{\circ} C^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os comprimentos iniciais (no estado de referência, antes de variação de temperatura) de uma barra de cobre e de uma barra de aço, sabendo que a barra de aço é sempre 4\\ \text{cm} mais longa que a de cobre em qualquer temperatura. As informações fornecidas (peguei do enunciado) são:
  • Coeficiente de dilatação linear do aço: \alpha_{\text{aço}} = 1,1\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}ç.
  • Coeficiente de dilatação linear do cobre: \alpha_{\text{cobre}} = 1,7\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    O que precisamos encontrar são os comprimentos iniciais (no mesmo estado de referência de temperatura) de:
  • comprimento inicial do cobre: L_{c0} (em cm);
  • comprimento inicial do aço: L_{s0} (em cm).

Passo 2

Explicando a fórmula que vamos usar (aula rápida e direta): para dilatação linear, o comprimento L de uma barra à temperatura alterada em \Delta T em relação à temperatura inicial vale
L = L_0\,(1 + \alpha\,\Delta T),
onde:
  • L é o comprimento à nova temperatura;
  • L_0 é o comprimento inicial (o que queremos achar);
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear da substância (por grau Celsius);
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}).
    Essa fórmula é uma aproximação linear válida para pequenas e moderadas variações de temperatura e é a fórmula padrão em exercícios deste tipo.

Passo 3

Aplicando a fórmula às duas barras: para qualquer \Delta T vale
L_{s}(\Delta T)=L_{s0}\bigl(1+\alpha_{\text{aço}}\Delta T\bigr), \qquad L_{c}(\Delta T)=L_{c0}\bigl(1+\alpha_{\text{cobre}}\Delta T\bigr).ç
A condição do enunciado é: a barra de aço é sempre 4\\ \text{cm} mais longa que a de cobre, isto é, para todo \Delta T,
L_{s}(\Delta T)=L_{c}(\Delta T)+4.
Substituindo as expressões:
L_{s0}\bigl(1+\alpha_{\text{aço}}\Delta T\bigr)=L_{c0}\bigl(1+\alpha_{\text{cobre}}\Delta T\bigr)+4.ç

Passo 4

Raciocínio chave: a igualdade acima vale para todo \Delta T\). Isso significa que os termos constantes (independentes de \(\Delta T\)) e os coeficientes de \(\Delta T\) devem ser iguais separadamente. Logo obtemos o sistema linear \[\begin{cases} L_{s0} = L_{c0} + 4,\\[4pt] L_{s0}\,\alpha_{\text{aço}} = L_{c0}\,\alpha_{\text{cobre}}. \end{cases}
Explicando: escrevemos a igualdade como uma identidade em \Delta T\] (polinômio de grau 1 em \(\Delta T) e, para que seja verdadeira para todo \Delta T, os coeficientes das potências de \Delta T devem coincidir.]

Passo 5

Vamos resolver o sistema. Da segunda equação isolamos L_{s0}:
L_{s0}=\frac{\alpha_{\text{cobre}}}{\alpha_{\text{aço}}}\,L_{c0}.ç
Substituindo na primeira equação:
\frac{\alpha_{\text{cobre}}}{\alpha_{\text{aço}}}\,L_{c0}=L_{c0}+4.ç
Colocando os L_{c0} juntos:
L_{c0}\!\left(\frac{\alpha_{\text{cobre}}}{\alpha_{\text{aço}}}-1\right)=4,ç
portanto
L_{c0}=\frac{4}{\dfrac{\alpha_{\text{cobre}}}{\alpha_{\text{aço}}}-1}.ç

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos (peguei estes valores do enunciado):
\frac{\alpha_{\text{cobre}}}{\alpha_{\text{aço}}} =\frac{1,7\times10^{-5}}{1,1\times10^{-5}} =\frac{1,7}{1,1} =\frac{17}{11}.ç
Então
\frac{\alpha_{\text{cobre}}}{\alpha_{\text{aço}}}-1=\frac{17}{11}-1=\frac{6}{11}.ç
Logo
L_{c0}=\frac{4}{6/11}=4\cdot\frac{11}{6}=\frac{44}{6}=\frac{22}{3}\\ \text{cm}\approx 7,333\\ \text{cm}.

Passo 7

Com L_{c0} encontrado, obtemos L_{s0} por L_{s0}=L_{c0}+4:
L_{s0}=\frac{22}{3}+4=\frac{22}{3}+\frac{12}{3}=\frac{34}{3}\\ \text{cm}\approx 11,333\\ \text{cm}.
Verificação rápida (confirmação de consistência): calcule-se a razão L_{s0}/L_{c0}=(34/3)/(22/3)=34/22=17/11, que é exatamente \alpha_{\text{cobre}}/\alpha_{\text{aço}}ç, portanto a segunda equação do sistema é satisfeita.

Resposta

Comprimento inicial do cobre: \dfrac{22}{3}\\ \text{cm}\approx 7,333\\ \text{cm}
Comprimento inicial do aço: \dfrac{34}{3}\\ \text{cm}\approx 11,333\\ \text{cm}

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