1. Dado um triângulo retângulo cujo a sua hipotenusa é igual ao triplo da medida de um dos seus catetos. Determine o valor de todos os seus ângulos internos.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo e informa que a hipotenusa tem comprimento igual ao triplo de um dos catetos. O que se pede é: determinar todos os ângulos internos do triângulo (os dois agudos e o reto).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O triângulo é retângulo, então um ângulo vale \,90^\circ.
  • Existe um cateto cuja medida vamos chamar de \,x.
  • A hipotenusa tem medida \,3x (peguei essa relação diretamente do enunciado).
  • Falta determinar os dois ângulos agudos (os ângulos opostos aos catetos).

Passo 2

Escolher notação e escrever a relação fundamental que vamos usar.
  • Denotemos:
    • o cateto dado por \,x (o cateto que tem a hipotenusa igual a 3x);
    • o outro cateto por \,y;
    • a hipotenusa por \,h.
Pelo enunciado sabemos que
h=3x.
Agora usamos o Teorema de Pitágoras (vou explicar o que é): em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa. Em fórmulas:
x^{2}+y^{2}=h^{2}.
Aqui \,x e \,y são os comprimentos dos catetos e \,h é o comprimento da hipotenusa.

Passo 3

Substituir \,h=3x no Teorema de Pitágoras e resolver para \,y.
Substituindo:
x^{2}+y^{2}=(3x)^{2}=9x^{2}.
Isolando y^{2}:
y^{2}=9x^{2}-x^{2}=8x^{2}.
Tirando raiz quadrada (comprimentos são positivos):
y=\sqrt{8x^{2}}=x\sqrt{8}=x\cdot 2\sqrt{2}.
Portanto o outro cateto vale \,y=2\sqrt{2}\,x. Isso nos dá a razão entre os catetos e a hipotenusa.

Passo 4

Escolher um ângulo agudo para trabalhar e aplicar definições trigonométricas básicas (vou explicar bem).
Denotemos por \,A o ângulo agudo oposto ao cateto de comprimento \,x. Nas razões trigonométricas num triângulo retângulo:
  • \sin de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa;
  • \cos é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa;
  • \tan é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
Para o ângulo \,A temos, pela definição de seno,
\sin A=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{x}{h}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}.
Então a igualdade exata que descreve \,A é
A=\arcsin\!\left(\frac{1}{3}\right).
Aqui \arcsin é a função inversa do seno: ela dá o ângulo cujo seno é \tfrac{1}{3}. Não existe um valor “bonito” (ângulo notável) cujo seno seja exatamente \tfrac{1}{3}, por isso a resposta exata fica em termos de \arcsin. Para a prova, escrever \,A=\arcsin\!\left(\tfrac{1}{3}\right) é perfeitamente correto; se quiser uma aproximação numérica:
A\approx 19,47^\circ.
(isto é \arcsin(0{,}333\ldots) avaliado numericamente).

Passo 5

Determinar o outro ângulo agudo e o ângulo reto.
Num triângulo retângulo os dois ângulos agudos somam \,90^\circ (pois a soma dos três ângulos é 180^\circ e já temos um de 90^\circ). Se chamarmos o outro ângulo de \,B, então
B=90^\circ-A.
Usando a expressão de A:
B=90^\circ-\arcsin\!\left(\frac{1}{3}\right).
Aproximando numericamente:
B\approx 90^\circ-19,47^\circ=70,53^\circ.
O terceiro ângulo é o ângulo reto, que é
90^\circ.

Passo 6

Resumo e checagem rápida (pequeno controle de consistência):
  • Verificando com cosseno ou tangente: \cos A=\dfrac{\text{adj}}{h}=\dfrac{y}{3x}=\dfrac{2\sqrt{2}x}{3x}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}, o que é consistente com \sin A=\tfrac{1}{3} por \sin^{2}A+\cos^{2}A=1. Tudo bate.

Resposta

A=\arcsin\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\approx 19,47^\circ
B=90^\circ-\arcsin\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\approx 70,53^\circ
C=90^\circ

Exercícios relacionados