- Dado um triângulo retângulo cujo a sua hipotenusa é igual ao triplo da medida de um dos seus catetos. Determine o valor de todos os seus ângulos internos.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo retângulo e informa que a hipotenusa tem comprimento igual ao triplo de um dos catetos. O que se pede é: determinar todos os ângulos internos do triângulo (os dois agudos e o reto).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O triângulo é retângulo, então um ângulo vale
. - Existe um cateto cuja medida vamos chamar de
. - A hipotenusa tem medida
(peguei essa relação diretamente do enunciado). - Falta determinar os dois ângulos agudos (os ângulos opostos aos catetos).
Passo 2
Escolher notação e escrever a relação fundamental que vamos usar.
- Denotemos:
- o cateto dado por
(o cateto que tem a hipotenusa igual a ); - o outro cateto por
; - a hipotenusa por
.
- o cateto dado por
Pelo enunciado sabemos que
Agora usamos o Teorema de Pitágoras (vou explicar o que é): em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa. Em fórmulas:
Aqui
e
são os comprimentos dos catetos e
é o comprimento da hipotenusa.
Passo 3
Substituir
no Teorema de Pitágoras e resolver para
.
Substituindo:
Isolando
:
Tirando raiz quadrada (comprimentos são positivos):
Portanto o outro cateto vale
. Isso nos dá a razão entre os catetos e a hipotenusa.
Passo 4
Escolher um ângulo agudo para trabalhar e aplicar definições trigonométricas básicas (vou explicar bem).
Denotemos por
o ângulo agudo oposto ao cateto de comprimento
. Nas razões trigonométricas num triângulo retângulo:
-
de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa; -
é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa; -
é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
Para o ângulo
temos, pela definição de seno,
Então a igualdade exata que descreve
é
Aqui
é a função inversa do seno: ela dá o ângulo cujo seno é
. Não existe um valor “bonito” (ângulo notável) cujo seno seja exatamente
, por isso a resposta exata fica em termos de
. Para a prova, escrever
é perfeitamente correto; se quiser uma aproximação numérica:
(isto é
avaliado numericamente).
Passo 5
Determinar o outro ângulo agudo e o ângulo reto.
Num triângulo retângulo os dois ângulos agudos somam
(pois a soma dos três ângulos é
e já temos um de
). Se chamarmos o outro ângulo de
, então
Usando a expressão de
:
Aproximando numericamente:
O terceiro ângulo é o ângulo reto, que é
Passo 6
Resumo e checagem rápida (pequeno controle de consistência):
- Verificando com cosseno ou tangente:
, o que é consistente com por . Tudo bate.