1. Sejam os vetores v_{1}=(1,2,3), v_{2}=(0,1,2) e v_{3}=(0,0,1). Mostre que B=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é uma base de \mathrm{i}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
v_{1}=(1,2,3),\quad v_{2}=(0,1,2),\quad v_{3}=(0,0,1)
e pede para mostrar que B=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} é base de \mathbb{R}^3. Para isso, vamos verificar que eles são linearmente independentes e usam-se exatamente 3 vetores num espaço de dimensão 3.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Como A é triangular superior com elementos da diagonal iguais a 1, temos
\det(A)=1\cdot1\cdot1=1\neq0.
Logo, \operatorname{rank}(A)=3, ou seja, v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes.

Passo 3

Num espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de 3 vetores linearmente independentes é automaticamente gerador (pois não existe subespaço próprio de dimensão 3). Logo, B gera \mathbb{R}^3 e é linearmente independente.

Resposta

B é uma base de \mathbb{R}^3.

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