[2,0 pt] Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+x^{2}+x^{3}}{x^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos \lim_{x\to\infty}\frac{1 + x^{2} + x^{3}}{x^{2} + 2}.
Este tipo de limite envolve comparação de polinômios no infinito; podemos usar a ideia de grau de polinômio ou dividir numerador e denominador pelo termo de maior grau.

Passo 2

Identificamos que o grau do numerador é 3 (termo líder x^{3}) e o grau do denominador é 2 (termo líder x^{2}). Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite tende a infinito. Para formalizar, vamos dividir tudo por x^{2}.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{2}, obtemos:
\frac{1 + x^{2} + x^{3}}{x^{2} + 2} = \frac{\frac{1}{x^{2}} + 1 + x}{1 + \frac{2}{x^{2}}}

Passo 4

Ao calcular o limite, temos \tfrac{1}{x^{2}}\to 0 e \tfrac{2}{x^{2}}\to 0 quando x\to\infty. Portanto,
\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x^{2}} + 1 + x}{1 + \frac{2}{x^{2}} } = \frac{0 + 1 + \infty}{1 + 0} = +\infty.

Resposta

O limite é +\infty.

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