EXTRA [1,0 pt] Dê um exemplo duas funções f(x) e g(x) tais que \lim _{x \rightarrow 0} f(x) e \lim _{x \rightarrow 0} g(x) não existem, mas \lim _{x \rightarrow 0} f(x) g(x) existe.

Passo 1

O enunciado pede duas funções f(x) e g(x) tais que
  1. \lim_{x\to0}f(x) não existe,
  2. \lim_{x\to0}g(x) não existe,
  3. mas \lim_{x\to0}f(x)\,g(x) existe.
    Vamos usar a ideia clásica de separar domínio em racionais e irracionais, fazendo f e g oscilarem entre dois valores, mas de tal forma que o produto seja constante.

Passo 2

Defina, para x\neq0\), \[f(x)= \begin{cases} 1, & x\in\mathbb{Q},\\\\ -1,& x\notin\mathbb{Q}, \end{cases} \quad g(x)= \begin{cases} 1, & x\in\mathbb{Q},\\\\ -1,& x\notin\mathbb{Q}. \end{cases}
Em x=0\] podemos atribuir arbitrariamente algum valor a \(f(0) e g(0), pois o que interessa são os limites laterais conforme x\to0, x\neq0.

Passo 3

Mostramos que \lim_{x\to0}f(x) e \lim_{x\to0}g(x) não existem.
Como em qualquer intervalo em torno de 0 há números racionais e irracionais, ao nos aproximarmos de 0 f(x) assume os valores 1 (em racionais) e -1 (em irracionais) sem se estabilizar num único valor. Logo
\lim_{x\to0}f(x)\quad\text{não existe},ã
e o mesmo raciocínio vale para g(x):
\lim_{x\to0}g(x)\quad\text{não existe}.ã

Passo 4

Agora observamos o produto para x\neq0\): \[f(x)\,g(x)= \begin{cases} 1\cdot1=1, & x\in\mathbb{Q},\\\ (-1)\cdot(-1)=1, & x\notin\mathbb{Q}. \end{cases}
Portanto, para todo x\neq0\] vale \(f(x)\,g(x)=1. Assim
\lim_{x\to0}f(x)\,g(x)=1.

Resposta

Um exemplo é
f(x)= \begin{cases} 1, & x\in\mathbb{Q},\\\\ -1,& x\notin\mathbb{Q}, \end{cases} \quad g(x)= \begin{cases} 1, & x\in\mathbb{Q},\\\\ -1,& x\notin\mathbb{Q}. \end{cases}
Nessas funções \lim_{x\to0}f(x) e \lim_{x\to0}g(x) não existem, mas
\lim_{x\to0}f(x)\,g(x)=1.

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