[2,0 \mathrm{pt}] Mostre pela definição de limite que \lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}-2 x\right)=-1 Passo 1O enunciado pede para mostrar, usando a definição \varepsilon– \delta de limite, que \lim_{x\to1}\bigl(x^{2}-2x\bigr)=-1. Aqui f(x)=\(x^{2}-2x) e queremos provar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-1|<\delta, então \bigl|f(x)-(-1)\bigr|<\varepsilon. Passo 2Calculamos a diferença em módulo: \bigl|f(x)-(-1)\bigr| =\bigl|x^{2}-2x+1\bigr| =\bigl|(x-1)^{2}\bigr| =|x-1|^{2}. Passo 3Dado um \varepsilon>0, basta escolher \delta = \sqrt{\varepsilon}. Então \delta>0 e, sempre que 0<|x-1|<\delta, vale que |x-1|^{2}<\\(delta^{2}=\varepsilon). Passo 4De fato, se 0<|x-1|<\delta então \bigl|f(x)-(-1)\bigr| =|x-1|^{2} <\delta^{2} =\varepsilon. Isso mostra exatamente a condição da definição de limite. RespostaPortanto, por definição \varepsilon– \delta, tem-se \lim_{x\to1}\bigl(x^{2}-2x\bigr)=-1. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEXTRA [1,0 pt] Dê um exemplo duas funções f(x) e g(x) tais que \lim _{x \rightarrow 0} f(x) e \lim _{x \rightarrow 0} g(x) não existem, mas \lim _{x \rightarrow 0} f(x) g(x) existe. [2,0 \mathrm{pt}] Determine o valor de A de modo que a função: f(x)= \begin{cases}x^{2}+x+A, & \text { se } x \geq 1 \\\ \frac{x^{3}-1}{x-1}, & \text { se } x<1\end{cases} seja contínua. [2,0 pt] Calcule os limites: \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+x^{2}+x^{3}}{x^{2}+2} Calcule a função derivada de: f(x)=x^{3} \operatorname{sen} x