[2,0 \mathrm{pt}] Mostre pela definição de limite que
\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}-2 x\right)=-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição \varepsilon \delta de limite, que
\lim_{x\to1}\bigl(x^{2}-2x\bigr)=-1.
Aqui f(x)=\(x^{2}-2x) e queremos provar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-1|<\delta, então
\bigl|f(x)-(-1)\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Calculamos a diferença em módulo:
\bigl|f(x)-(-1)\bigr| =\bigl|x^{2}-2x+1\bigr| =\bigl|(x-1)^{2}\bigr| =|x-1|^{2}.

Passo 3

Dado um \varepsilon>0, basta escolher \delta = \sqrt{\varepsilon}. Então \delta>0 e, sempre que 0<|x-1|<\delta, vale que |x-1|^{2}<\\(delta^{2}=\varepsilon).

Passo 4

De fato, se 0<|x-1|<\delta então
\bigl|f(x)-(-1)\bigr| =|x-1|^{2} <\delta^{2} =\varepsilon.
Isso mostra exatamente a condição da definição de limite.

Resposta

Portanto, por definição \varepsilon \delta, tem-se
\lim_{x\to1}\bigl(x^{2}-2x\bigr)=-1.

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