[2] Um casal é portador de uma certa doença. A probabilidade de cada filho nascer com essa doença é 0.20. O casal pensa em ter cinco filhos. (A) Calcule e faca o gráfico da Distribuição de Probabilidade do Número de filhos que possam nascer com a doença:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que um casal, que carrega uma certa doença, está pensando em ter cinco filhos. A chance de cada filho nascer com essa doença é de 20% (ou 0,20). Nosso objetivo aqui é calcular e fazer o gráfico da Distribuição de Probabilidade do número de filhos que podem nascer com a doença. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado: sucesso ou fracasso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos:
  • n: número fixo de tentativas (neste caso, 5 filhos).
  • p: probabilidade de sucesso em cada tentativa (a chance de um filho nascer com a doença, que é 0,20).
  • q: probabilidade de fracasso em cada tentativa (1 - p, que é 0,80).
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = C(n, k) cdot p^k cdot q^n - k
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos.
  • $ C(n, k) $ é a combinação de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez, ou seja, $ \frac{n!}{k!(n - k)!} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ P(X = k) $ para cada possível valor de $ k $ de 0 a 5, já que não podemos ter menos que 0 ou mais que 5 filhos com a doença.
Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Para $ k = 0 $:
    P(X = k)
  2. Para $ k = 1 $:
    k
  3. Para $ k = 2 $:
    k = 0
  4. Para $ k = 3 $:
    P(X = 0) = C(5, 0) cdot (0,20)^0 cdot (0,80)^5 = 1 cdot 1 cdot 0,32768 = 0,32768
  5. Para $ k = 4 $:
    k = 1
  6. Para $ k = 5 $:
    P(X = 1) = C(5, 1) cdot (0,20)^1 cdot (0,80)^4 = 5 cdot 0,20 cdot 0,4096 = 0,4096

Passo 4

Com os valores de probabilidade calculados para cada número de filhos com a doença, podemos organizar esses dados para criar o gráfico da Distribuição de Probabilidade. Embora não possamos desenhar o gráfico aqui, vamos listar os valores para que você possa visualizar ou plotar em algum software ou papel:
Número de Filhos ($ k $) Probabilidade ($ P(X=k) $)
0 0,32768
1 0,4096
2 0,2048
3 0,0512
4 0,0064
5 0,00032

Resposta

A Distribuição de Probabilidade do Número de filhos que podem nascer com a doença é apresentada na tabela abaixo:
Número de Filhos ($ k $) Probabilidade ($ P(X=k) $)
0 0,32768
1 0,4096
2 0,2048
3 0,0512
4 0,0064
5 0,00032

Exercícios relacionados