2. (2,0) Considere o seguinte problema de valor inicial:
y^{\prime}+x^{4} y=x^{4} e^{\frac{4 x^{5}}{5}}, \quad y(0)=1
(a) (0,5) Com base no Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais lineares,discuta se esse problema admite uma única solução em algum intervalo contendo x=0
(b) (1,0) Encontre a solução geral da equação diferencial.
(c) (0,5) Determine a solução particular que satisfaz a condição inicial y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'+x^{4}y = x^{4}e^{\frac{4x^{5}}{5}},\quad y(0)=1
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Precisamos (a) verificar existência e unicidade via Teorema de Existência e Unicidade para ODEs lineares, (b) achar a solução geral usando fator integrante, e (c) impor y(0)=1 para obter a solução particular.

Passo 2

Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade em equações lineares do tipo
y'+p(x)y=q(x),
basta que p e q sejam contínuas num intervalo contendo o ponto inicial. Aqui
p(x)=x^4,\quad q(x)=x^4e^{\frac{4x^5}{5}}
são funções contínuas em \mathbb{R}. Logo, existe uma única solução em todo intervalo que contenha x=0.

Passo 3

Colocamos a equação na forma padrão e determinamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr)=\exp\Bigl(\int x^4\,dx\Bigr)=e^{\frac{x^5}{5}}.

Passo 4

Multiplicando a ODE por \mu(x) obtemos
\frac{d}{dx}\Bigl(y\,e^{\frac{x^5}{5}}\Bigr) = x^4e^{\frac{4x^5}{5}}\;e^{\frac{x^5}{5}} = x^4e^{x^5}.
Integramos ambos os lados:
y\,e^{\frac{x^5}{5}} = \int x^4e^{x^5}\,dx + C = \frac{1}{5}e^{x^5}+C.

Passo 5

Isolando y achamos a solução geral
y(x) = \frac{1}{5}e^{x^5 - \frac{x^5}{5}} + C\,e^{-\frac{x^5}{5}} = \frac{1}{5}e^{\frac{4x^5}{5}} + C\,e^{-\frac{x^5}{5}}.

Passo 6

Para satisfazer y(0)=1 fazemos x=0:
1 = y(0) = \frac{1}{5}e^0 + C\,e^0 = \frac{1}{5} + C \;\Longrightarrow\; C=\frac{4}{5}.
Assim a solução particular é
y(x)=\frac{1}{5}e^{\frac{4x^5}{5}} + \frac{4}{5}e^{-\frac{x^5}{5}}.

Resposta

(a) Como p(x)=x^4 e q(x)=x^4e^{4x^5/5} são contínuas em \mathbb{R}, existe única solução no entorno de x=0.
(b) A solução geral é
y(x)=\frac{1}{5}e^{\frac{4x^5}{5}} + C\,e^{-\frac{x^5}{5}}.
(c) Impondo y(0)=1 obtém-se
y(x)=\frac{1}{5}e^{\frac{4x^5}{5}} + \frac{4}{5}e^{-\frac{x^5}{5}}.

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