2.
Considere o seguinte problema de valor inicial:
(a)
Com base no Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais lineares,discuta se esse problema admite uma única solução em algum intervalo contendo
.
(b)
Encontre a solução geral da equação diferencial.
(c)
Determine a solução particular que satisfaz a condição inicial
.
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Precisamos (a) verificar existência e unicidade via Teorema de Existência e Unicidade para ODEs lineares, (b) achar a solução geral usando fator integrante, e (c) impor
para obter a solução particular.
Passo 2
Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade em equações lineares do tipo
basta que
e
sejam contínuas num intervalo contendo o ponto inicial. Aqui
são funções contínuas em
. Logo, existe uma única solução em todo intervalo que contenha
.
Passo 3
Colocamos a equação na forma padrão e determinamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicando a ODE por
obtemos
Integramos ambos os lados:
Passo 5
Isolando
achamos a solução geral
Passo 6
Para satisfazer
fazemos
:
Assim a solução particular é
Resposta
(a) Como
e
são contínuas em
, existe única solução no entorno de
.
(b) A solução geral é
(b) A solução geral é
(c) Impondo
obtém-se