Demonstre a fórmula para a soma do n primeiros inteiros positivos:
\sum_{i=1}^{n} i=1+2+3+\ldots+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}
Dica: escreva a soma de duas formas, uma na ordem usual e outra invertida, e some verticalmente as colunas

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que a soma dos n primeiros inteiros positivos
\sum_{i=1}^{n}i = 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) + n
é igual a \tfrac{n(n+1)}{2}. O conteúdo envolve manipulação algébrica simples e a dica sugere escrever a soma em ordem crescente e decrescente para somá-las “verticalmente”.

Passo 2

Definimos
S = 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) + n
e, invertendo a ordem dos termos, também temos
S = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 2 + 1.

Passo 3

Agora somamos as duas expressões termo a termo:
\begin{aligned} S + S &= (1 + n) + (2 + (n-1)) + (3 + (n-2)) + \cdots + ((n-1) + 2) + (n + 1)\\\\ 2S &= (n+1) + (n+1) + (n+1) + \cdots + (n+1)\quad\text{(total de \(n\) parcelas)}\\ 2S &= n\,(n+1). \end{aligned}

Passo 4

Bastou isolar S:
S = \frac{n\,(n+1)}{2}.

Resposta

\sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}.

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