Calcule a integral definida \int_{0}^{3}\left(x^{3}-6 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3}\bigl(x^{3}-6x\bigr)\,dx.
O conteúdo necessário é a regra de potência para integrar monômios e, em seguida, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Encontramos uma primitiva F(x) de f(x)=x^{3}-6x usando a regra \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1):
F(x)=\int\bigl(x^{3}-6x\bigr)\,dx =\frac{x^{4}}{4}-6\cdot\frac{x^{2}}{2} =\frac{x^{4}}{4}-3x^{2}.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{3}\bigl(x^{3}-6x\bigr)\,dx =F(3)-F(0).
Calculando:
F(3)=\frac{3^{4}}{4}-3\cdot3^{2} =\frac{81}{4}-27 =\frac{81-108}{4} =-\frac{27}{4},
e
F(0)=0.

Resposta

-\frac{27}{4}

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