Verificar que cada equação diferencial é exata e encontre a família de soluções
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede duas coisas:
- verificar que a equação é exata;
- encontrar a família de soluções (a solução geral).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é
função de . - A derivada aparece como
. - Os coeficientes dependem apenas em
e em de forma multiplicativa: .
Passo 2
Colocar a equação na forma diferencial exata padrão
.
Partindo de
multiplicando por
obtemos
Logo podemos identificar
pois a equação ficou
.
Passo 3
Explicar e verificar a condição de exatidão.
Definição prática: uma equação
é exata se existe uma função
tal que
Uma condição necessária e suficiente (quando
e
são suaves) é
Calcule as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Encontrar a função potencial
tal que
e
.
Começamos integrando
em relação a
, tratando
como constante durante essa integração:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 5
Determinar
usando a condição
.
Calcule
a partir da expressão encontrada:
Iguale a
:
Integre em
:
onde
é constante real.
Assim
Passo 6
Escrever a solução implícita e obter a solução explícita.
A solução geral implícita da equação exata é
. Podemos absorver
numa constante geral
. Então
Fatorando
:
Isolando
,
onde
é a constante arbitrária da família de soluções.
Passo 7
Verificação rápida por substituição (para garantir que não houve erro algébrico).
Tome
. Calcule
:
Substituindo na equação original:
Portanto a solução encontrada satisfaz a equação.