Verificar que cada equação diferencial é exata e encontre a família de soluções
\left(2+t^{2}\right) u^{\prime}+2 t u=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\left(2+t^{2}\right)u^{\prime}+2t\,u=0
e pede duas coisas:
  • verificar que a equação é exata;
  • encontrar a família de soluções (a solução geral).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é u função de t.
  • A derivada aparece como u^{\prime}=\dfrac{du}{dt}.
  • Os coeficientes dependem apenas em t e em u de forma multiplicativa: (2+t^{2})u^{\prime}+2t\,u=0.

Passo 2

Colocar a equação na forma diferencial exata padrão M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du=0.
Partindo de
\left(2+t^{2}\right)\dfrac{du}{dt}+2t\,u=0,
multiplicando por dt obtemos
2t\,u\,dt+(2+t^{2})\,du=0.
Logo podemos identificar
M(t,u)=2t\,u,\qquad N(t,u)=2+t^{2},
pois a equação ficou M\,dt+N\,du=0.

Passo 3

Explicar e verificar a condição de exatidão.
Definição prática: uma equação M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du=0 é exata se existe uma função \Phi(t,u) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=M\qquad\text{e}\qquad\frac{\partial \Phi}{\partial u}=N.
Uma condição necessária e suficiente (quando M e N são suaves) é
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial N}{\partial t}.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}(2t\,u)=2t,
\frac{\partial N}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(2+t^{2})=2t.
Como \dfrac{\partial M}{\partial u}=\dfrac{\partial N}{\partial t}=2t, a equação é exata.

Passo 4

Encontrar a função potencial \Phi(t,u) tal que \Phi_t=M e \Phi_u=N.
Começamos integrando \Phi_t=M=2t\,u em relação a t, tratando u como constante durante essa integração:
\Phi(t,u)=\int 2t\,u\,dt = u\int 2t\,dt = u\,t^{2}+h(u),
onde h(u) é uma “constante” de integração que pode depender de u.

Passo 5

Determinar h(u) usando a condição \Phi_u=N.
Calcule \Phi_u a partir da expressão encontrada:
\Phi_u=\frac{\partial}{\partial u}\bigl(u\,t^{2}+h(u)\bigr)=t^{2}+h'(u).
Iguale a N(t,u)=2+t^{2}:
t^{2}+h'(u)=2+t^{2}\quad\Rightarrow\quad h'(u)=2.
Integre em u:
h(u)=2u+C_0,
onde C_0 é constante real.
Assim
\Phi(t,u)=u\,t^{2}+2u+C_0.

Passo 6

Escrever a solução implícita e obter a solução explícita.
A solução geral implícita da equação exata é \Phi(t,u)=\text{constante}. Podemos absorver C_0 numa constante geral C. Então
u\,t^{2}+2u = C.
Fatorando u:
u\,(t^{2}+2)=C.
Isolando u,
u(t)=\frac{C}{t^{2}+2},
onde C\in\mathbb{R} é a constante arbitrária da família de soluções.

Passo 7

Verificação rápida por substituição (para garantir que não houve erro algébrico).
Tome u(t)=\dfrac{C}{t^{2}+2}. Calcule u':
u' = -\dfrac{C\cdot 2t}{(t^{2}+2)^{2}} = -\dfrac{2t}{t^{2}+2}\,u.
Substituindo na equação original:
(2+t^{2})u' + 2t\,u = (t^{2}+2)\left(-\dfrac{2t}{t^{2}+2}u\right)+2t\,u = -2t\,u + 2t\,u = 0.
Portanto a solução encontrada satisfaz a equação.

Resposta

u(t)=\frac{C}{t^{2}+2},\qquad C\in\mathbb{R}.

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