[2, Ex.17,p.875] Determine a derivada direcional de f(x, y, z)=(x+2 y+3 z)^3 / 2 em (1,1,2) e na direção de v=2 j-k.

Passo 1

Estamos com a função f(x,y,z)=(x+2y+3z)^3/2, queremos a derivada direcional em (1,1,2) na direção de v=2,j-1,k. O conteúdo que usamos é gradiente e derivada direcional, ou seja, vamos calcular nabla f e projetá-lo na direção unitária de v.

Passo 2

Primeiro, achamos o gradiente de f. Como f(u)=u^3/2 com u=x+2y+3z, usamos a regra da cadeia:
partial fpartial x=32(x+2y+3z)^1/2cdot1, partial fpartial y=32(x+2y+3z)^1/2cdot2, partial fpartial z=32(x+2y+3z)^1/2cdot3
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nabla f=32(x+2y+3z)^1/2(1,2,3)

Passo 3

Em (1,1,2) temos x+2y+3z=1+2+6=9, então (x+2y+3z)^1/2=3. Assim,
nabla f(1,1,2)=32cdot3,(1,2,3)=l(tfrac92,9,tfrac272r)

Passo 4

O vetor direção dado é v=(0,2,-1). Sua norma é |v|=raiz0^2+2^2+(-1)^2=raiz5, e o versor é
u=v|v|=l(0,tfrac2raiz5,-tfrac1raiz5r)

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar nabla f(1,1,2)cdot u:
Du f(1,1,2)=l(tfrac92,9,tfrac272r)cdotl(0,tfrac2raiz5,-tfrac1raiz5r)=92raiz5

Resposta

92raiz5

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