Determinar as derivadas parciais indicadas.
w=x^2+y^2+4 z^2+1 ; partial^3 wpartial x partial y partial z ; partial^3 wpartial z partial x partial y

Passo 1

O enunciado dá a função de três variáveis
w = x^2 + y^2 + 4z^2 + 1
e pede as derivadas parciais de terceira ordem mistas partial^3wpartial x,partial y,partial z e partial^3wpartial z,partial x,partial y. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais sucessivas e uso do teorema de Clairaut sobre a comutatividade das derivadas parciais de ordem superior quando as derivadas são contínuas.

Passo 2

Calcular partial^3wpartial x,partial y,partial z pela definição de derivadas parciais sucessivas:
  1. Primeiro
partial wpartial x = 2x
  1. Depois
partial^2wpartial y,partial x = partialpartial y(2x) = 0,
pois 2x não depende de y.
3. Finalmente
partial^3wpartial z,partial y,partial x = partialpartial z(0) = 0
Como estamos apenas mudando a ordem dos diferenciais no índice, isso mostra que
partial^3wpartial x,partial y,partial z=0.

Passo 3

Pelo teorema de Clairaut (igualdade das derivadas mistas de ordem superior, já que w é polinomial e todas as derivadas são contínuas), qualquer permutação das variáveis dá o mesmo resultado. Logo
partial^3wpartial z,partial x,partial y = partial^3wpartial x,partial y,partial z = 0

Resposta

partial^3wpartial x,partial y,partial z=0
partial^3wpartial z,partial x,partial y=0

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