Determinar as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
O enunciado dá a função de três variáveis
e pede as derivadas parciais de terceira ordem mistas
e
. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais sucessivas e uso do teorema de Clairaut sobre a comutatividade das derivadas parciais de ordem superior quando as derivadas são contínuas.
Passo 2
Calcular
pela definição de derivadas parciais sucessivas:
- Primeiro
- Depois
pois
não depende de
.
3. Finalmente
3. Finalmente
Como estamos apenas mudando a ordem dos diferenciais no índice, isso mostra que
.
Passo 3
Pelo teorema de Clairaut (igualdade das derivadas mistas de ordem superior, já que
é polinomial e todas as derivadas são contínuas), qualquer permutação das variáveis dá o mesmo resultado. Logo