Encontre a solução geral pelo método da variação dos parâmetros (MVP):
y^prime prime(t)+4 y(t)=t cos (2 t)

Passo 1

Enunciado: Resolver a EDO y''(t)+4y(t)=tcos(2t) pelo método da variação de parâmetros. Conteúdo: solução da homogênea de coeficientes constantes e variação de parâmetros para segunda ordem. Vamos precisar dos dois autovalores complexos e das fórmulas de u1' e u2'.

Passo 2

A parte homogênea é y''+4y=0. A equação característica é r^2+4=0 com raízes r=pm2i. Logo as soluções fundamentais são y1(t)=cos(2t) e y2(t)=sin(2t), e a solução geral homogênea é yh=C1cos(2t)+C2sin(2t).

Passo 3

Calcular o Wronskiano das soluções:
W(t)=cos(2t)&sin(2t) -2sin(2t)&2cos(2t)=2(cos^2(2t)+sin^2(2t))=2

Passo 4

Formular as derivadas dos coeficientes variáveis usando g(t)=tcos(2t):
u1'(t)=-g(t),y2(t)W(t)=-tcos(2t)sin(2t)2=- t4sin(4t),
u2'(t)=g(t),y1(t)W(t)=tcos^2(2t)2= t4+ t4cos(4t)

Passo 5

Integrar u1'(t) por partes para achar u1(t):
u1(t)=integral- t4sin(4t),dt=tcos(4t)16-sin(4t)64

Passo 6

Integrar u2'(t) por partes em cada termo para achar u2(t):
u2(t)=integrall( t4+ t4cos(4t)r)dt=t^28+tsin(4t)16+cos(4t)64

Passo 7

Construir a particular yp=u1y1+u2y2 e simplificar:
yp=l(tcos(4t)16-sin(4t)64r)cos(2t)+l(t^28+tsin(4t)16+cos(4t)64r)sin(2t)

Passo 8

Ao simplificar usando identidades trigonométricas vemos que os termos em cos(6t) e sin(6t) se cancelam e sobra
yp= t16cos(2t)+t^28sin(2t)

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)+ t16cos(2t)+t^28sin(2t)

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