[2, Ex.1, p.120] Esboce a curva ( \approx imagem da função vetorial)
r(t)=\langle t, \cos t, \sin t\rangle, \quad t \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada por
r(t)=\langle t,\cos t,\sin t\rangle,\quad t\ge0.
O conteúdo é de curvas paramétricas em \mathbb{R}^3. Para desenhar a curva vamos (i) identificar a superfície que a contém, (ii) analisar como x, y e z variam, e (iii) marcar pontos-chave e a orientação do giro.

Passo 2

Mostramos que os componentes y(t)=\cos t e z(t)=\sin t satisfazem
\cos^2t+\sin^2t=1,
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y^2+z^2=1.
Isto diz que a curva está contida no cilindro circular de raio 1 cujo eixo é o eixo x.

Passo 3

Observamos que a componente
x(t)=t
é estritamente crescente para t\ge0. Portanto, à medida que avançamos em t, movemo-nos sempre no sentido positivo do eixo x, sem retrocessos.

Passo 4

Para orientar o esboço, calculamos alguns pontos notáveis: \displaystyle t=0\Rightarrow r(0)=(0,1,0), \displaystyle t=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow r\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\bigl(\tfrac{\pi}{2},0,1\bigr), \displaystyle t=\pi\Rightarrow r(\pi)=(\pi,-1,0), \displaystyle t=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow r\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=\bigl(\tfrac{3\pi}{2},0,-1\bigr), \displaystyle t=2\pi\Rightarrow r(2\pi)=(2\pi,1,0).
Traçando esses pontos sobre o cilindro y^2+z^2=1 e ligando-os, vemos uma volta completa a cada incremento de 2\pi em x.

Passo 5

Analisando a projeção no plano yz com eixo y horizontal e z vertical, o ponto de partida é (y,z)=(1,0) em t=0 e, para t aumentando, a trajetória gira no sentido anti-horário nesse plano. Como simultaneamente x cresce, a curva se enrola em torno do eixo x. O resultado é uma hélice cilíndrica de raio 1, “subindo” ao longo de x.

Resposta

A curva é uma hélice cilíndrica de raio 1 em torno do eixo x, começando em (0,1,0), fazendo voltas de sentido anti-horário na seção yz e avançando continuamente no sentido positivo de x.

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