[2, Ex.1, p.120] Esboce a curva (
imagem da função vetorial)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva dada por
O conteúdo é de curvas paramétricas em
. Para desenhar a curva vamos (i) identificar a superfície que a contém, (ii) analisar como
,
e
variam, e (iii) marcar pontos-chave e a orientação do giro.
Passo 2
Mostramos que os componentes
e
satisfazem
logo
Isto diz que a curva está contida no cilindro circular de raio 1 cujo eixo é o eixo
.
Passo 3
Observamos que a componente
é estritamente crescente para
. Portanto, à medida que avançamos em
, movemo-nos sempre no sentido positivo do eixo
, sem retrocessos.
Passo 4
Para orientar o esboço, calculamos alguns pontos notáveis:
,
,
,
,
.
Traçando esses pontos sobre o cilindro e ligando-os, vemos uma volta completa a cada incremento de
em
.
Traçando esses pontos sobre o cilindro
Passo 5
Analisando a projeção no plano
com eixo
horizontal e
vertical, o ponto de partida é
em
e, para
aumentando, a trajetória gira no sentido anti-horário nesse plano. Como simultaneamente
cresce, a curva se enrola em torno do eixo
. O resultado é uma hélice cilíndrica de raio 1, “subindo” ao longo de
.
Resposta
A curva é uma hélice cilíndrica de raio 1 em torno do eixo
, começando em
, fazendo voltas de sentido anti-horário na seção
e avançando continuamente no sentido positivo de
.