Calcule as transformadas de Laplace usando a definição.
\mathcal{L}\left{t^{2} \operatorname{cosh} (k t)\right}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de t^{2}\operatorname{cosh}(k t) pela definição
\mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{cosh}(k t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}t^{2}\operatorname{cosh}(k t)\,e^{-s t}dt.
Para resolver isso, vamos usar a expressão de \operatorname{cosh} em termos de exponenciais e a fórmula padrão \displaystyle \int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-a t}dt=\frac{n!}{a^{n+1}} (válida para \Re(a)>0).

Passo 2

Escrevendo \operatorname{cosh}(k t)=\tfrac{e^{k t}+e^{-k t}}{2}, temos
\mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{cosh}(k t)\}(s) = \int_{0}^{\infty}t^{2}\frac{e^{k t}+e^{-k t}}{2}\,e^{-s t}dt = \frac{1}{2}\Bigl(\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-(s-k)t}dt + \int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-(s+k)t}dt\Bigr).

Passo 3

Pela fórmula \displaystyle \int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-a t}dt=\frac{2!}{a^{3}}=\frac{2}{a^{3}},
os dois integrandos viram
\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-(s-k)t}dt = \frac{2}{(s-k)^{3}}, \quad \int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-(s+k)t}dt = \frac{2}{(s+k)^{3}}.

Passo 4

Substituindo no resultado,
\mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{cosh}(k t)\}(s) = \frac12\Bigl(\frac{2}{(s-k)^{3}} + \frac{2}{(s+k)^{3}}\Bigr) = \frac{1}{(s-k)^{3}} + \frac{1}{(s+k)^{3}}.

Passo 5

Para juntar num único denominador, note que
(s+k)^{3}+(s-k)^{3} =2s(s^{2}+3k^{2}),
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\frac{1}{(s-k)^{3}} + \frac{1}{(s+k)^{3}} = \frac{(s+k)^{3}+(s-k)^{3}}{(s^{2}-k^{2})^{3}} = \frac{2s\,(s^{2}+3k^{2})}{(s^{2}-k^{2})^{3}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{cosh}(k t)\}(s) = \frac{2s\,(s^{2}+3k^{2})}{(s^{2}-k^{2})^{3}}, \quad \Re(s) > \lvert k\rvert.

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