Usando substituição, calcule a integral.
\int_{-1}^{0} x^{2} \sqrt{x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{0} x^{2}\sqrt{x+1}\,dx
usando o método de substituição. O conteúdo é integração por substituição: vamos escolher uma mudança de variável que simplifique a raiz, ajustar os limites e integrar potências de u.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x + 1.
Então
dx = du,
e os limites mudam de acordo com x:
quando x=-1, u=0;
quando x=0, u=1.

Passo 3

Reescrevendo o integrando em u:
como x = u-1 temos
x^{2} = (u-1)^{2}, \qquad \sqrt{x+1} = \sqrt{u} = u^{1/2}.
Logo a integral vira
\int_{-1}^{0} x^{2}\sqrt{x+1}\,dx = \int_{0}^{1} (u-1)^{2}\,u^{1/2}\,du.

Passo 4

Expandindo o produto dentro da integral:
(u-1)^{2}\,u^{1/2} = (u^{2} - 2u + 1)\,u^{1/2} = u^{5/2} - 2u^{3/2} + u^{1/2}.
Portanto
\int_{0}^{1} (u-1)^{2}\,u^{1/2}\,du = \int_{0}^{1} \bigl(u^{5/2} - 2u^{3/2} + u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 5

Aplicando a regra \int u^{n}\,du = u^{n+1}/(n+1) em cada termo:
\int_{0}^{1} u^{5/2}\,du = \frac{u^{7/2}}{7/2},\quad \int_{0}^{1} u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2},\quad \int_{0}^{1} u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2}.
A primitiva conjunta é
F(u) = \frac{u^{7/2}}{7/2} - 2\cdot\frac{u^{5/2}}{5/2} + \frac{u^{3/2}}{3/2}.

Passo 6

Agora avaliamos F(u) entre 0 e 1. Em u=0 tudo zera, em u=1 ficamos com
\frac{1}{7/2} - 2\cdot\frac{1}{5/2} + \frac{1}{3/2} = \frac{2}{7} - 2\cdot\frac{2}{5} + \frac{2}{3} = \frac{2}{7} - \frac{4}{5} + \frac{2}{3}.

Passo 7

Para somar, usamos denominador comum 105:
\frac{2}{7} = \frac{30}{105},\quad \frac{4}{5} = \frac{84}{105},\quad \frac{2}{3} = \frac{70}{105}.
Então
\frac{30 - 84 + 70}{105} = \frac{16}{105}.

Resposta

\frac{16}{105}

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