[2, ex.1, p.203] Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
, no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Isso envolve Cálculo Multivariável, mais especificamente o estudo de planos tangentes a superfícies. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
para encontrar a coordenada
do ponto.
Então, o ponto no espaço é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso nos ajudará a determinar a inclinação do plano tangente em cada direção.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Usando a regra do produto:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Vamos avaliar
no ponto
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar
no ponto
:
Passo 6
Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente é
.