[2, ex.1, p.203] Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
f(x, y)=x e^x^2-y^2, no ponto (1,-1, f(1,-1)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = x e^x^2 - y^2 no ponto (1, -1, f(1, -1)) . Isso envolve Cálculo Multivariável, mais especificamente o estudo de planos tangentes a superfícies. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a x e y no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de f(1, -1) para encontrar a coordenada z do ponto.
f(1, -1) = 1 cdot e^1^2 - (-1)^2 = 1 cdot e^1 - 1 = 1 cdot e^0 = 1
Então, o ponto no espaço é (1, -1, 1) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y . Isso nos ajudará a determinar a inclinação do plano tangente em cada direção.
Primeiro, a derivada parcial em relação a x :
fx(x, y) = partialpartial x ( x e^x^2 - y^2 )
Usando a regra do produto:
fx(x, y) = e^x^2 - y^2 + x cdot e^x^2 - y^2 cdot 2x = e^x^2 - y^2 (1 + 2x^2)
Agora, a derivada parcial em relação a y :
fy(x, y) = partialpartial y ( x e^x^2 - y^2 ) = x cdot e^x^2 - y^2 cdot (-2y) = -2xy e^x^2 - y^2

Passo 4

Vamos avaliar fx no ponto (1, -1) :
fx(1, -1) = e^1^2 - (-1)^2 (1 + 2(1)^2) = e^1 - 1 (1 + 2) = e^0 cdot 3 = 1 cdot 3 = 3

Passo 5

Agora, vamos avaliar fy no ponto (1, -1) :
fy(1, -1) = -2 cdot 1 cdot (-1) cdot e^1^2 - (-1)^2 = 2 cdot e^0 = 2 cdot 1 = 2

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo os valores que temos:
z = 1 + 3(x - 1) + 2(y - (-1)) = 1 + 3(x - 1) + 2(y + 1)
Simplificando:
z = 1 + 3x - 3 + 2y + 2 = 3x + 2y

Resposta

A equação do plano tangente é z = 3x + 2y .

Exercícios relacionados