Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
Elevar ao cubo ambos os lados de uma inequação sempre conduz a uma inequação equivalente?
Elevar ao cubo ambos os lados de uma inequação sempre conduz a uma inequação equivalente?
Passo 1
O enunciado pergunta se, para quaisquer reais
e
, a operação de elevar ambos os lados da inequação
ao cubo sempre produz uma inequação equivalente, isto é, se sempre valeria
O conteúdo envolvido é o estudo de funções monotônicas, em particular a função
.
Passo 2
Para ver se a elevação ao cubo preserva a ordem, podemos analisar o sinal da diferença
. Observe que
Aqui o fator
é sempre positivo para quaisquer
, pois
Logo o sinal de
é o mesmo de
. Em particular, se
então
e daí
, ou seja
. O raciocínio inverso também vale.
Passo 3
Concluímos que a função
é estritamente crescente em
. Portanto, para quaisquer
,
ou seja, elevar ambos os lados de uma inequação ao cubo fornece sempre uma inequação equivalente.
Resposta
Verdadeira.