Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
Elevar ao cubo ambos os lados de uma inequação sempre conduz a uma inequação equivalente?

Passo 1

O enunciado pergunta se, para quaisquer reais a e b, a operação de elevar ambos os lados da inequação a<b ao cubo sempre produz uma inequação equivalente, isto é, se sempre valeria
a<b Long<=ftrightarrow a^3<b^3
O conteúdo envolvido é o estudo de funções monotônicas, em particular a função f(x)=x^3.

Passo 2

Para ver se a elevação ao cubo preserva a ordem, podemos analisar o sinal da diferença a^3-b^3. Observe que
a^3-b^3=(a-b),(a^2+ab+b^2)
Aqui o fator (a^2+ab+b^2) é sempre positivo para quaisquer a,binR, pois
a^2+ab+b^2 = tfrac12l((a+b)^2 + a^2 + b^2r)>0
Logo o sinal de a^3-b^3 é o mesmo de a-b. Em particular, se a<b então a-b<0 e daí a^3-b^3<0, ou seja a^3<b^3. O raciocínio inverso também vale.

Passo 3

Concluímos que a função f(x)=x^3 é estritamente crescente em R. Portanto, para quaisquer a,b,
a<b Long<=ftrightarrow a^3<b^3,
ou seja, elevar ambos os lados de uma inequação ao cubo fornece sempre uma inequação equivalente.

Resposta

Verdadeira.

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