Resolva o seguinte problema de valor inicial
y^prime=y^2, y(0)=-1

Passo 1

O enunciado é resolver o problema de valor inicial abaixo. O conteúdo é equações diferenciais ordinárias de variáveis separáveis e vamos precisar separar as variáveis e calcular integrais.
y' = y^2, y(0) = -1

Passo 2

Para começar, percebemos que a EDO é separável, ou seja, dá para colocar todos os termos com y de um lado e com x do outro. Assim fazemos:
dydx = y^2 Longrightarrow dyy^2 = dx

Passo 3

Agora vamos integrar os dois lados. Lembrando que para n neq -1, integral y^n ,dy = y^n+1n+1. No nosso caso n = -2 porque y^-2 = 1/y^2.
integral y^-2 ,dy = integral 1 ,dx
Calculando as integrais, obtemos:
-1y = x + C

Passo 4

Agora isolamos y. Multiplicando por -1 e invertendo os dois lados, chegamos em:
y = -1x + C

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0) = -1. Substituindo x = 0 e y = -1:
-1 = -10 + C
Isso implica -1 = -1/C e, portanto, C = 1.

Resposta

y(x) = -1x + 1

Exercícios relacionados