Se a>1 e a^{2}+2 for um número primo, então mostre que a é um múltiplo de 3 .

Passo 1

O enunciado diz que a>1 e que a^{2}+2 é um número primo. Vamos usar congruências módulo 3 para mostrar que isso só é possível se a for múltiplo de 3.

Passo 2

Os possíveis resíduos de a módulo 3 são
a\equiv 0,\;1\;\text{ou}\;2\pmod{3}.

Passo 3

Suponha que a\not\equiv0\pmod{3}. Então ou a\equiv1\pmod{3} ou a\equiv2\pmod{3}, e em ambos os casos
a^{2}\equiv1\pmod{3} \quad\Longrightarrow\quad a^{2}+2\equiv1+2\equiv0\pmod{3}.
Assim 3 divide a^{2}+2. Mas, como a>1, temos a^{2}+2>3, logo a^{2}+2 é divisível por 3 e maior que 3, o que impede que seja primo. Contradição.

Passo 4

Para evitar essa contradição, é necessário que a\equiv0\pmod{3}. Ou seja, a deve ser múltiplo de 3.

Resposta

a é múltiplo de 3.

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