Para cada item a seguir, calcule rot \overrightarrow{\mathbf{F}}.
\vec{F}(x, y, z)=y^{2} z \vec{i}+x^{2} z \vec{j}+e^{y} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotor (curl) de \vec{F}(x,y,z)=y^{2}z\,\vec{i}+x^{2}z\,\vec{j}+e^{y}\,\vec{k}. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e aplicação da definição
\nabla\times\vec{F} =\bigl(\partial_{y}R-\partial_{z}Q\bigr)\,\vec{i} +\bigl(\partial_{z}P-\partial_{x}R\bigr)\,\vec{j} +\bigl(\partial_{x}Q-\partial_{y}P\bigr)\,\vec{k}.

Passo 2

Identificamos as componentes scalars de \vec{F}:
P(x,y,z)=y^{2}z,\quad Q(x,y,z)=x^{2}z,\quad R(x,y,z)=e^{y}.

Passo 3

Calculamos a componente em \vec{i}:
\partial_{y}R=\frac{\partial}{\partial y}e^{y}=e^{y}, \qquad \partial_{z}Q=\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}z)=x^{2}.
Logo a primeira componente é
(\nabla\times\vec{F})_{x} =\partial_{y}R-\partial_{z}Q =e^{y}-x^{2}.

Passo 4

Calculamos a componente em \vec{j}:
\partial_{z}P=\frac{\partial}{\partial z}(y^{2}z)=y^{2}, \qquad \partial_{x}R=\frac{\partial}{\partial x}e^{y}=0.
Logo a segunda componente é
(\nabla\times\vec{F})_{y} =\partial_{z}P-\partial_{x}R =y^{2}-0 =y^{2}.

Passo 5

Calculamos a componente em \vec{k}:
\partial_{x}Q=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}z)=2xz, \qquad \partial_{y}P=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}z)=2yz.
Logo a terceira componente é
(\nabla\times\vec{F})_{z} =\partial_{x}Q-\partial_{y}P =2xz-2yz =2z\,(x-y).

Resposta

\nabla\times\vec{F} =(e^{y}-x^{2})\,\vec{i}+y^{2}\,\vec{j}+2z\,(x-y)\,\vec{k}.

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