Determine primos gêmeos p e q tais que p^{2}+q^{2}=34.

Passo 1

O enunciado pede para achar dois números p e q que sejam primos gêmeos (ou seja, dois primos cuja diferença é 2) e que satisfaçam
p^{2} + q^{2} = 34.
Para primos gêmeos podemos escrever sem perda de generalidade q = p + 2.

Passo 2

Substituímos q = p + 2 na equação p^{2} + q^{2} = 34:
p^{2} + (p+2)^{2} = 34.
Desenvolvendo o quadrado,
p^{2} + \bigl(p^{2} + 4p + 4\bigr) = 34
ou seja,
2p^{2} + 4p + 4 = 34.

Passo 3

Passamos todos os termos para um lado e simplificamos:
2p^{2} + 4p + 4 - 34 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2p^{2} + 4p - 30 = 0.
Dividindo tudo por 2,
p^{2} + 2p - 15 = 0.

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática p^{2} + 2p - 15 = 0 usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = 2^{2} - 4\cdot1\cdot(-15) = 4 + 60 = 64.
Logo as raízes são
p = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}.
Isso dá p = 3 ou p = -5. Como p deve ser primo positivo, ficamos com p = 3.

Passo 5

Se p = 3, então q = p + 2 = 5. Ambos são primos e de fato
3^{2} + 5^{2} = 9 + 25 = 34.

Resposta

p = 3 e q = 5.

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