Mostre que a composta de duas funções bijetivas é uma função bijetiva

Passo 1

Temos duas funções
f\colon A \to B
e
g\colon B \to C
e sabemos que ambas são bijetivas. Ou seja,
f é injetiva e sobrejetiva de A em B.
g é injetiva e sobrejetiva de B em C.
Queremos mostrar que a composição
g \circ f\colon A \to C,\quad (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)
também é bijetiva.

Passo 2

Provar que g\circ f é injetiva.
Para isso, pegue x,x'\in A e suponha
(g\circ f)(x) = (g\circ f)(x').
Então
g\bigl(f(x)\bigr) = g\bigl(f(x')\bigr).
Como g é injetiva, segue que
f(x) = f(x').
E como f também é injetiva, daí
x = x'.
Logo g\circ f é injetiva.

Passo 3

Provar que g\circ f é sobrejetiva.
Seja c\in C. Como g é sobrejetiva, existe b\in B tal que
g(b) = c.
Como f é sobrejetiva, existe a\in A tal que
f(a) = b.
Assim
(g\circ f)(a) = g\bigl(f(a)\bigr) = g(b) = c.
Portanto, para cada c\in C encontramos a\in A com (g\circ f)(a)=c, ou seja, g\circ f é sobrejetiva.

Resposta

A composição de duas funções bijetivas é bijetiva.

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