Mostre que a composta de duas funções bijetivas é uma função bijetiva
Passo 1
Temos duas funções
e
e sabemos que ambas são bijetivas. Ou seja,
– é injetiva e sobrejetiva de
em
.
– é injetiva e sobrejetiva de
em
.
Queremos mostrar que a composição
–
–
Queremos mostrar que a composição
também é bijetiva.
Passo 2
Provar que
é injetiva.
Para isso, pegue e suponha
Para isso, pegue
Então
Como
é injetiva, segue que
E como
também é injetiva, daí
Logo
é injetiva.
Passo 3
Provar que
é sobrejetiva.
Seja . Como
é sobrejetiva, existe
tal que
Seja
Como
é sobrejetiva, existe
tal que
Assim
Portanto, para cada
encontramos
com
, ou seja,
é sobrejetiva.
Resposta
A composição de duas funções bijetivas é bijetiva.