[2,0 \mathrm{pt}] Calcule a área sob o gráfico de f(x)=1 / x no intervalo [1, e].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área sob o gráfico de f(x)=\dfrac{1}{x} no intervalo [1,e].\n
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x}.\n
  • O intervalo de integração é [1,e], onde e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828).\n
    Pergunta a responder: qual é a área sob a curva y=\dfrac{1}{x} entre x=1 e x=e?

Passo 2

O que significa “área sob o gráfico” na linguagem matemática: quando temos uma função contínua e não negativa em um intervalo [a,b], a área entre o gráfico da função, o eixo x e as retas x=a e x=b é dada pelo integral definido
\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui precisamos verificar que podemos usar essa definição: a função f(x)=\dfrac{1}{x} é contínua em todo o intervalo [1,e] e é positiva ali (porque para x>0 temos 1/x>0). Portanto a área pedida é
\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Ferramenta que vamos usar (explicada com calma): o Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se F é uma primitiva de f (isto é, F'(x)=f(x) para x no intervalo), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Ou seja, para calcular a integral definida basta achar uma primitiva F e avaliar nos extremos. Vamos aplicar isso com f(x)=\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Qual é a primitiva de \dfrac{1}{x}? Conhecemos a derivada do logaritmo natural: para x\neq 0,
\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}.
Portanto uma primitiva de f(x)=\dfrac{1}{x} é F(x)=\ln|x|. No nosso intervalo [1,e] os x são positivos, então podemos usar simplesmente F(x)=\ln x (sem necessidade do valor absoluto), porque para x>0 temos \ln|x|=\ln x.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular
\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx = \Bigl[\ln x\Bigr]_{1}^{e} = \ln e - \ln 1.

Passo 6

Avaliação dos logaritmos: pela definição de e como base dos logaritmos naturais sabemos que
\ln e = 1
porque e^{1}=e, e também
\ln 1 = 0
porque e^{0}=1. Substituindo:
\ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: o resultado significa que a área sob a curva y=\dfrac{1}{x} entre x=1 e x=e é exatamente 1 unidade quadrada. Isso bate com a intuição: a função decresce de 1 em x=1 para aproximadamente 0,3679 em x=e, e a área total dá 1.\n
Exemplo rápido extra para fixar a ideia: se pedissem \int_{2}^{4}\dfrac{1}{x}\,dx, a resposta seria \ln 4-\ln 2=\ln 2.

Resposta

1

Exercícios relacionados