Calcule a área sob o gráfico de
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área sob o gráfico de
no intervalo
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
.\n - O intervalo de integração é
, onde é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente ).\n
Pergunta a responder: qual é a área sob a curvaentre e ?
Passo 2
O que significa “área sob o gráfico” na linguagem matemática: quando temos uma função contínua e não negativa em um intervalo
, a área entre o gráfico da função, o eixo
e as retas
e
é dada pelo integral definido
Aqui precisamos verificar que podemos usar essa definição: a função
é contínua em todo o intervalo
e é positiva ali (porque para
temos
). Portanto a área pedida é
Passo 3
Ferramenta que vamos usar (explicada com calma): o Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se
é uma primitiva de
(isto é,
para
no intervalo), então
Ou seja, para calcular a integral definida basta achar uma primitiva
e avaliar nos extremos. Vamos aplicar isso com
.
Passo 4
Qual é a primitiva de
? Conhecemos a derivada do logaritmo natural: para
,
Portanto uma primitiva de
é
. No nosso intervalo
os
são positivos, então podemos usar simplesmente
(sem necessidade do valor absoluto), porque para
temos
.
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: calcular
Passo 6
Avaliação dos logaritmos: pela definição de
como base dos logaritmos naturais sabemos que
porque
, e também
porque
. Substituindo:
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: o resultado significa que a área sob a curva
entre
e
é exatamente
unidade quadrada. Isso bate com a intuição: a função decresce de
em
para aproximadamente
em
, e a área total dá
.\n
Exemplo rápido extra para fixar a ideia: se pedissem , a resposta seria
.
Exemplo rápido extra para fixar a ideia: se pedissem