[3,0] Um rolo de fita é feito enrolando a fita em um carretel de raio 1 cm que gira com velocidade constante \theta^{\prime}=\pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}. O raio do rolo varia a medida que ele gira de acordo com a fórmula R(t)=0,5 N(t)+10 \mathrm{~mm}, onde N(t)=\theta(t) /(2 \pi) é o número de voltas dado pelo carretel e \theta(t) é o ângulo total percorrido até o tempo t. Quando o raio do rolo for 3 cm , qual a taxa de crescimento do volume?

Passo 1

O que o enunciado pede: quando o raio do rolo for \,3\\ \text{cm}\,, determinar a taxa de crescimento do volume do rolo \dfrac{dV}{dt}.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
  • Raio do carretel (núcleo) inicial: \,1\\ \text{cm}\, (note que isto equivale a \,10\\ \mathrm{mm}\,).
  • Velocidade angular do carretel: \,\theta'=\pi\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}\,.
  • Número de voltas: \;N(t)=\dfrac{\theta(t)}{2\pi}\;.
  • Relação do raio com o número de voltas: \;R(t)=0,5\,N(t)+10\\ \mathrm{mm}\;. Aqui a unidade final é \mathrm{mm} (o termo 10\\ \mathrm{mm} indica que R está em milímetros).
  • Queremos \dfrac{dV}{dt} quando R=3\\ \text{cm} (ou seja, R=30\\ \mathrm{mm}).
Observação importante já nesta etapa: o volume do rolo é o volume de um cilindro de raio R e altura (largura da fita) constante. Vou chamar essa largura de h (uma constante). O enunciado não dá h, então a taxa de crescimento do volume ficará expressa em termos de h. Se quiser depois eu posso avaliar para um valor específico de h (por exemplo h=1\\ \text{cm}).

Passo 2

Unificar unidades e relacionar R com \theta.
A fórmula dada é em \mathrm{mm}. Para trabalhar de forma consistente, vou usar mm internamente e depois converto para cm quando for mais conveniente. Primeiro escrevo R em função de \theta:
N(t)=\frac{\theta(t)}{2\pi},
logo
R(t)=0,5\,N(t)+10\\ \mathrm{mm}=0,5\cdot\frac{\theta(t)}{2\pi}+10\\ \mathrm{mm}.
Posso simplificar o coeficiente numérico:
R(t)=\frac{0,5}{2\pi}\,\theta(t)+10\\ \mathrm{mm}=\frac{0,25}{\pi}\,\theta(t)+10\\ \mathrm{mm}.
Aqui \theta(t) está em radianos.

Passo 3

Calcular a taxa radial dR/dt usando \theta'(t).
Derivando R(t) em relação a t:
\frac{dR}{dt}=\frac{0,25}{\pi}\,\theta'(t).
Como \theta'(t)=\pi\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}, substituo:
\frac{dR}{dt}=\frac{0,25}{\pi}\cdot\pi=0,25\\ \mathrm{mm}/\mathrm{s}.
Interpretação: o raio cresce a 0,25\\ \mathrm{mm/s}. (Isso também faz sentido lógico: cada volta aumenta o raio em 0,5\\ \mathrm{mm} e há 0,5 voltas por segundo — logo 0,5\times 0,5=0,25\\ \mathrm{mm/s}.)
Se eu quiser em cm/s: 0,25\\ \mathrm{mm/s}=0,025\\ \text{cm}/\text{s}.

Passo 4

Expressar o volume do rolo e relacionar sua derivada temporal.
Volume de um cilindro de raio R e altura (largura da fita) h é
V=\pi R^{2} h.
Aqui R em cm ou mm deve corresponder às unidades de h para obter volume nas unidades corretas; vou usar cm a seguir (portanto R=3\\ \text{cm} e dR/dt=0,025\\ \text{cm}/\text{s}).
Derivando V em relação ao tempo (tratando h como constante):
\frac{dV}{dt}=2\pi R h \cdot \frac{dR}{dt}.
Esta fórmula é direta pela regra da cadeia: d(\,R^{2}\,)/dt=2R\cdot dR/dt. Significado físico: a taxa de aumento do volume é a área lateral (circunferência vezes altura) vezes a velocidade radial, ou visto de outra forma, 2\pi R h é a derivada da área da base em relação a R.

Passo 5

Substituir os valores numéricos quando R=3\\ \text{cm}.
Usando unidades em cm:
  • R=3\\ \text{cm}.
  • \dfrac{dR}{dt}=0,025\\ \text{cm}/\text{s} (conversão de 0,25\\ \mathrm{mm}/\mathrm{s}).
  • h é a largura da fita (constante), mantida simbólica.
Substituo na fórmula:
\frac{dV}{dt}=2\pi \cdot 3\\ \text{cm} \cdot h \cdot 0,025\\ \frac{\text{cm}}{\text{s}}.
Calculo numérico:
2\cdot 3\cdot 0,025 = 0,15,
portanto
\frac{dV}{dt}=0,15\pi\, h\\ \frac{\text{cm}^{3}}{\text{s}}.
Isto é a taxa de crescimento do volume em função da largura h (com h em cm). Se preferir em mm (com h em mm), usando R=30\\ \mathrm{mm} e dR/dt=0,25\\ \mathrm{mm}/\mathrm{s}, obteríamos
\frac{dV}{dt}=15\pi\, h_{\mathrm{mm}}\\ \frac{\mathrm{mm}^{3}}{\mathrm{s}},
onde h_{\mathrm{mm}} é a largura em mm (resultado equivalente, só em outras unidades).

Passo 6

Interpretações numéricas rápidas (para motivar e dar confiança):
  • Se a largura da fita for \,h=1\\ \text{cm}\,, então
\frac{dV}{dt}=0,15\pi\\ \frac{\text{cm}^{3}}{\text{s}}\approx 0,4712\\ \frac{\text{cm}^{3}}{\text{s}}.
  • Se a largura for h=10\\ \mathrm{mm} (ou seja 1\\ \text{cm}), na forma em mm a taxa seria 15\pi\cdot 10\\ \mathrm{mm}^{3}/\mathrm{s}=150\pi\\ \mathrm{mm}^{3}/\mathrm{s}, que é o mesmo número em mm^3/s convertido.

Resposta

\dfrac{dV}{dt}=0,15\pi\,h\\ \dfrac{\text{cm}^{3}}{\text{s}}

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