[3,0] Um rolo de fita é feito enrolando a fita em um carretel de raio 1 cm que gira com velocidade constante
. O raio do rolo varia a medida que ele gira de acordo com a fórmula
, onde
é o número de voltas dado pelo carretel e
é o ângulo total percorrido até o tempo t. Quando o raio do rolo for 3 cm , qual a taxa de crescimento do volume?
Passo 1
O que o enunciado pede: quando o raio do rolo for
, determinar a taxa de crescimento do volume do rolo
.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
- Raio do carretel (núcleo) inicial:
(note que isto equivale a ). - Velocidade angular do carretel:
. - Número de voltas:
. - Relação do raio com o número de voltas:
. Aqui a unidade final é (o termo indica que está em milímetros). - Queremos
quando (ou seja, ).
Observação importante já nesta etapa: o volume do rolo é o volume de um cilindro de raio
e altura (largura da fita) constante. Vou chamar essa largura de
(uma constante). O enunciado não dá
, então a taxa de crescimento do volume ficará expressa em termos de
. Se quiser depois eu posso avaliar para um valor específico de
(por exemplo
).
Passo 2
Unificar unidades e relacionar
com
.
A fórmula dada é em
. Para trabalhar de forma consistente, vou usar mm internamente e depois converto para cm quando for mais conveniente. Primeiro escrevo
em função de
:
logo
Posso simplificar o coeficiente numérico:
Aqui
está em radianos.
Passo 3
Calcular a taxa radial
usando
.
Derivando
em relação a
:
Como
, substituo:
Interpretação: o raio cresce a
. (Isso também faz sentido lógico: cada volta aumenta o raio em
e há
voltas por segundo — logo
.)
Se eu quiser em cm/s:
Passo 4
Expressar o volume do rolo e relacionar sua derivada temporal.
Volume de um cilindro de raio
e altura (largura da fita)
é
Aqui
em cm ou mm deve corresponder às unidades de
para obter volume nas unidades corretas; vou usar cm a seguir (portanto
e
).
Derivando
em relação ao tempo (tratando
como constante):
Esta fórmula é direta pela regra da cadeia:
. Significado físico: a taxa de aumento do volume é a área lateral (circunferência vezes altura) vezes a velocidade radial, ou visto de outra forma,
é a derivada da área da base em relação a
.
Passo 5
Substituir os valores numéricos quando
.
Usando unidades em cm:
-
. -
(conversão de ). -
é a largura da fita (constante), mantida simbólica.
Substituo na fórmula:
Calculo numérico:
portanto
Isto é a taxa de crescimento do volume em função da largura
(com
em cm). Se preferir em mm (com
em mm), usando
e
, obteríamos
onde
é a largura em mm (resultado equivalente, só em outras unidades).
Passo 6
Interpretações numéricas rápidas (para motivar e dar confiança):
- Se a largura da fita for
, então
- Se a largura for
(ou seja ), na forma em mm a taxa seria , que é o mesmo número em mm^3/s convertido.