[2,0 pt] Encontre a equação da reta tangente à
no ponto
. Note que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e informa que
Pede-se: encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto em que
. Então as informações relevantes são:
- A função é dada por
- O ponto onde queremos a tangente tem abscissa
e ordenada - O que precisamos obter é a equação da reta tangente nesse ponto.
Passo 2
O que é a reta tangente (fórmula prática para a prova)?
A reta tangente à curva no ponto
é a reta que melhor aproxima a curva perto de
. Sua equação, em forma ponto-inclinação, é
A reta tangente à curva
onde
é a derivada de
em
(ou seja, a inclinação da tangente). Para achar a reta tangente precisamos de dois elementos: o ponto
(já dado) e o valor da derivada
.
Passo 3
Como calcular a derivada de
?
Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1 (uma forma muito usada em provas): se
Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1 (uma forma muito usada em provas): se
e
é contínua em torno de
, então
Aqui
. Observação importante: a função
é contínua para todo
(exponencial e polinômio são contínuos), portanto podemos aplicar o teorema sem problema. Assim,
Passo 4
Avaliar a derivada no ponto
.
Substituímos na expressão obtida:
Substituímos na expressão obtida:
Então a inclinação (coeficiente angular) da tangente em
é
.
Passo 5
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2.
Temos ,
e
. Substituindo em
Temos
vem
que simplifica para
Passo 6
Uma verificação extra (intuição): expandindo
em série de Taylor perto de
dá
. Integrando de
a
obtemos
ou seja, para pequenos
a função se comporta como
. A reta
é exatamente a aproximação linear (primeiro termo) — consistente com o resultado obtido.