[2,0 pt] Encontre a equação da reta tangente à
f(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{3}} d t
no ponto x=0. Note que f(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{3}}\,dt
e informa que \,f(0)=0. Pede-se: encontrar a equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto em que x=0. Então as informações relevantes são:
  • A função é dada por \displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{3}}\,dt.
  • O ponto onde queremos a tangente tem abscissa \,x_0=0 e ordenada \,f(0)=0.
  • O que precisamos obter é a equação da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

O que é a reta tangente (fórmula prática para a prova)?
A reta tangente à curva y=f(x) no ponto (x_0,f(x_0)) é a reta que melhor aproxima a curva perto de x_0. Sua equação, em forma ponto-inclinação, é
y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x-x_0),
onde \,f'(x_0) é a derivada de f em x_0 (ou seja, a inclinação da tangente). Para achar a reta tangente precisamos de dois elementos: o ponto (x_0,f(x_0)) (já dado) e o valor da derivada \,f'(x_0).

Passo 3

Como calcular a derivada de f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} e^{t^{3}}\,dt?
Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1 (uma forma muito usada em provas): se
F(x)=\int_{a}^{x} g(t)\,dt
e g é contínua em torno de x, então
F'(x)=g(x).
Aqui g(t)=e^{t^{3}}. Observação importante: a função e^{t^{3}} é contínua para todo t (exponencial e polinômio são contínuos), portanto podemos aplicar o teorema sem problema. Assim,
f'(x)=e^{x^{3}}.

Passo 4

Avaliar a derivada no ponto \,x_0=0.
Substituímos na expressão obtida:
f'(0)=e^{0^{3}}=e^{0}=1.
Então a inclinação (coeficiente angular) da tangente em x=0 é \,1.

Passo 5

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2.
Temos x_0=0, f(0)=0 e f'(0)=1. Substituindo em
y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x-x_0)
vem
y = 0 + 1\cdot (x-0),
que simplifica para
y = x.

Passo 6

Uma verificação extra (intuição): expandindo e^{t^{3}} em série de Taylor perto de t=0 e^{t^{3}}=1+t^{3}+\tfrac{t^{6}}{2!}+\cdots. Integrando de 0 a x obtemos
f(x)=\int_{0}^{x} \bigl(1+t^{3}+\cdots\bigr)\,dt = x+\tfrac{x^{4}}{4}+\cdots,
ou seja, para pequenos x a função se comporta como f(x)\approx x. A reta y=x é exatamente a aproximação linear (primeiro termo) — consistente com o resultado obtido.

Resposta

y=x

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