[2,0 \mathrm{pt}] Determine L de modo que a função
\begin{cases}\frac{x^{3}-6 x^{2}+11 x-6}{x^{2}-3 x+2}, & \text { se } x \neq 1 \\\ L, & \text { se } x=1\end{cases}
seja contínua.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \frac{x^{3}-6x^{2}+11x-6}{x^{2}-3x+2},&\text{se }x\neq1,\\\ L,&\text{se }x=1, \end{cases}
e pede o valor de L que torna f contínua em x=1. O conteúdo envolvido é continuidade de função e cálculo de limite.

Passo 2

Para encontrar \lim_{x\to1}f(x), fatoramos numerador e denominador:
x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3),
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).

Passo 3

Como x\neq1, podemos simplificar
\frac{x^{3}-6x^{2}+11x-6}{x^{2}-3x+2} =\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)}=x-3.

Passo 4

Portanto, para x\neq1, f(x)=x-3. Logo
\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x-3)=1-3=-2.

Passo 5

Para que f seja contínua em x=1, deve valer
L=\lim_{x\to1}f(x)=-2.

Resposta

-2

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