Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{5}+x^{3}-2 x+1}{x^{6}-7}

Passo 1

O enunciado pede \lim_{x \to \infty} \frac{x^{5} + x^{3} - 2x + 1}{x^{6} - 7}. O conteúdo é limite de função racional no infinito e vamos usar comparação de graus de polinômios e fatoração pelo maior grau.

Passo 2

Observamos que o grau do numerador é 5 e o grau do denominador é 6. Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, espera-se que o limite seja 0, mas vamos mostrar isso rigorosamente.

Passo 3

Para evidenciar, fatoramos x^{6} no denominador e o mesmo x^{6} em cada termo do numerador, obtendo
\frac{x^{5} + x^{3} - 2x + 1}{x^{6} - 7} = \frac{x^{6}\Bigl(\tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{x^{3}} - \tfrac{2}{x^{5}} + \tfrac{1}{x^{6}}\Bigr)}{x^{6}\Bigl(1 - \tfrac{7}{x^{6}}\Bigr)} = \frac{\tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{x^{3}} - \tfrac{2}{x^{5}} + \tfrac{1}{x^{6}}}{1 - \tfrac{7}{x^{6}}}\,.

Passo 4

À medida que x \to \infty, cada termo \tfrac{1}{x^{k}} com k>0 tende a 0, então o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1. Logo
\lim_{x \to \infty}\frac{\tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{x^{3}} - \tfrac{2}{x^{5}} + \tfrac{1}{x^{6}}}{1 - \tfrac{7}{x^{6}}} = \frac{0}{1} = 0\,.

Resposta

0

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