Calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\cos \left(2 t+\frac{\pi}{2}\right)}{t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{t\to0}\frac{\cos\!\bigl(2t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{t^{2}}
Então estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas e vamos usar identidade trigonométrica e expansão em série de Taylor para estudar o comportamento quando t\to0.

Passo 2

Use a identidade
\cos\bigl(u+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\sin(u)
com u=2t. Logo
\frac{\cos\!\bigl(2t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{t^{2}} =\frac{-\sin(2t)}{t^{2}}.

Passo 3

Para t pequeno, a série de Taylor de \sin(2t) é
\sin(2t)=2t-\frac{(2t)^{3}}{3!}+o(t^{3}) =2t-\frac{8t^{3}}{6}+o(t^{3}).
Substituindo, o numerador fica
-\sin(2t)\;=\;-2t+\frac{8t^{3}}{6}+o(t^{3}).

Passo 4

Dividindo por t^{2}, obtemos
\frac{-\sin(2t)}{t^{2}} =\frac{-2t+O(t^{3})}{t^{2}} =-\frac{2t}{t^{2}}+O(t) =-\frac{2}{t}+O(t).
Quando t\to0^{+}, -2/t\to-\infty.
Quando t\to0^{-}, -2/t\to+\infty.
Portanto o limite bilateral não existe (há divergência para sinais opostos).

Resposta

O limite não existe, pois
\lim_{t\to0^{+}}\frac{\cos\!\bigl(2t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{t^{2}}=-\infty \quad\text{e}\quad \lim_{t\to0^{-}}\frac{\cos\!\bigl(2t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{t^{2}}=+\infty.

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